Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

22 1 Mannigfaltigkeiten T. tom Dieck
haben wesentlich die geometrische Untersuchung der Singularitäten von Polynomen
angeregt [102]. Auf den grundlegenden Arbeiten von Freedman [47] und
Donaldson [41] aufbauend kann man zeigen, daß es überabzählbar viele differenzierbare
Strukturen auf der topologischen Mannigfaltigkeit R 4 gibt ([135]; auch
[84] für weitere Bemerkungen dazu.) Systematische Darstellungen der neueren
Theorie der 4-Mannigfaltigkeiten findet man in [48], [42] und [?].
✸
(8.4) Verallgemeinerte Rotationsflächen. Die Abbildung
R k \ 0 → S k−1 × ]0, ∞[ ,
x ↦→ (‖x‖ −1 x, ‖x‖)
ist ein Diffeomorphismus. Daraus erhalten wir einen Diffeomorphismus R k \ 0 ∼ =
S k−1 × R. Sei M ⊂ R N eine glatte Untermannigfaltigkeit (N ≥ 1). Wir sehen
dann
M × S b ⊂ R N × S b = R N−1 × R × S b ∼ = R N−1 × R b+1 \ 0 ⊂ R N+b .
Insbesondere hat (Induktion nach r) ein Produkt S n(1) × · · · × S n(r) eine Einbettung
in den R N , N = 1 + n(1) + · · · + n(r).
✸
(8.5) Der Torus. Die Fläche S 1 × S 1 heißt Torus. Sie läßt sich durch eine
Ringfläche als glatte Untermannigfaltigkeit des R 3 realisieren: Sei 0 < b < a.
Durch Rotation um die z-Achse des Kreises vom Radius b um (a, 0) in der (x, z)-
Ebene entsteht eine zu S 1 × S 1 diffeomorphe Untermannigfaltigkeit.
Seien r und s positive Zahlen, die der Gleichung r 2 + s 2 = 1 genügen. Dann
wird S 1 × S 1 durch (λ, µ) ↦→ (rλ, sµ) in die Einheitssphäre S 3 ⊂ C 2 als glatte
Untermannigfaltigkeit {(z, w) | |z| = r, |w| = s} eingebettet.
Sei p > 1 eine natürliche Zahl. Dann ist {(z 0 , z 1 ) | z p 0 = z1, p |z 0 | 2 + |z 1 | 2 = 1}
eine Untermannigfaltigkeit von S 3 .
✸
(8.6) Torus-Knoten. Wir betrachten im C 2 die Teilmenge T (p, q) der (z, w),
die den beiden Gleichungen z p − w q = 0 und |z| 2 + |w| 2 = 1 genügen. Seien p
und q teilerfremde natürliche Zahlen und größer als 1. Setzen wir z und w in
Polarkoordinaten an, z = r exp(iφ), w = s exp(iψ), so sind r und s als positive
Zahlen für alle (z, w) ∈ T (p, q) gleich. Demnach liegt T (p, q) in dem Torus
T = {(z, w) | |z| = r, |w| = s} und wird durch {(re iqt , se ipt ) | 0 ≤ t < 2π} parametrisiert.
Läuft t von 0 nach 2π, so läuft der zugehörige Kurvenpunkt q-mal
um den einen und p-mal um den anderen Faktor des Torus. Wird der Torus als
Ringfläche im R 3 realisiert (8.4), so sind derartige Kurven verknotet und heißen
(p, q)-Torusknoten.
✸
(8.7) Aufgaben und Ergänzungen.
1. Ist Y eine glatte Untermannigfaltigkeit von Z und X ⊂ Y ein Teilraum, so ist X
genau dann eine glatte Untermannigfaltigkeit von Y , wenn X eine glatte Untermannigfaltigkeit
von Z ist. Ist X glatte Untermannigfaltigkeit, so gibt es um jeden Punkt
x ∈ X eine Karte (U, ϕ, V ) von Z, so daß sowohl ϕ(U ∩ X) als auch ϕ(U ∩ Y ) aus
V durch Schnitte mit linearen Unterräumen entstehen. (An X ⊂ Y ⊂ Z angepaßte