Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

66 5 Transformationsgruppen T. tom Dieck
2 Transformationsgruppen
Eine Liesche Gruppe ist ein Tripel (M, D, m), das aus einer glatten Mannigfaltigkeit
(M, D) und einer Gruppenstruktur m: M × M → M, (x, y) ↦→ xy auf M
besteht; diese Daten sollen die folgenden Axiome erfüllen: Die Multiplikation m
und der Übergang zum Inversen i: g → g −1 sind glatt.
Standardbeispiele sind die allgemeinen linearen Gruppen GL(n, R) und
GL(n, C) sowie die klassischen Untergruppen O(n), SO(n), U(n) und SU(n).
Die Formeln für die Matrizenmultiplikation und das Inverse einer Matrix zeigen,
daß m und i glatt sind. Es gilt SO(2) ∼ = U(1) ∼ = S 1 , als Liesche Gruppen betrachtet.
Darin bezeichnet S 1 die multiplikative Gruppe der komplexen Zahlen
vom Betrag 1. Mit G und H ist auch das direkte Produkt G × H eine Liesche
Gruppe. Eine zum n-fachen Produkt S 1 × · · · × S 1 isomorphe Gruppe wird
als n-dimensionaler Torus bezeichnet. Die Quaternionen der Norm 1 liefern die
Struktur einer Lieschen Gruppe auf der Sphäre S 3 . Eine abzählbare Gruppe mit
diskreter Topologie wird als nulldimensionale Liesche Gruppe angesehen.
Es gibt andere Möglichkeiten, lokale Parametrisierungen der Matrizengruppen
zu erhalten. Ist A ∈ M n (R), so kann die matrizenwertige Exponentialreihe
exp(A) = E + A1
1! + A2
2! + · · ·
gebildet werden. Es ist exp(A) ∈ GL(n, R) und exp ist differenzierbar. Das Differential
im Nullpunkt ist die Identität. Deshalb bildet exp eine geeignete Umgebung
U des Nullpunktes diffeomorph auf eine Umgebung V der Einheitsmatrix
ab. Damit ist eine lokale Parametrisierung von GL(n, R) in der Umgebung des
neutralen Elementes gewonnen. Sie hat verschiedene nützliche Eigenschaften. Für
jedes A wird durch ϕ A : R → GL(n, R), t ↦→ exp(tA) ein Homomorphismus von
Lieschen Gruppen gegeben. Er heißt Einparameter-Untergruppe von GL(n, R).
Nicht immer ist ϕ A injektiv, und auch wenn ϕ A injektiv ist, so ist die Abbildung
nicht notwendig eine topologische Einbettung. Die Exponentialabbildung
ist auch mit den diversen Untergruppen verträglich. Zum Beispiel liegt das Bild
von ϕ A genau dann in O(n), wenn A t + A = 0 ist (A schiefsymmetrisch).
Man kann zeigen [30] oder [18, p. 28]:
(2.1) Satz. Eine abgeschlossene Untergruppe einer Lieschen Gruppe ist eine
Untermannigfaltigkeit und mit der induzierten Struktur eine Liesche Gruppe. ✷
Eine glatte Operation einer Lieschen Gruppe G auf einer glatten Mannigfaltigkeit
M ist eine glatte Abbildung G×M → M, (g, x) ↦→ gx, die eine Gruppenoperation
ist (hier: Linksoperation). Wir nennen M eine (glatte) G-Mannigfaltigkeit,
wenn M mit einer derartigen G-Operation versehen ist. Wir wenden auf diese
Situation die allgemeine Terminologie der Transformationsgruppen an.
Sei M eine glatte G-Mannigfaltigkeit. Die Abbildung l g : x ↦→ gx ist die Linkstranslation
mit g. Sie ist ein Diffeomorphismus, die Linkstranslation mit g −1 ist
das Inverse. Ein Punkt x ∈ M hat die Standgruppe G x = {g ∈ G | gx = x}. Wir