Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 7 Untermannigfaltigkeiten 19
von U ist.
(3) Ist f: N 1 → N 2 ein Diffeomorphismus, so ist M 1 ⊂ N 1 genau dann eine glatte
Untermannigfaltigkeit, wenn f(M 1 ) = M 2 ⊂ N 2 eine glatte Untermannigfaltigkeit
ist.
✷
(7.2) Tangentialraum von Untermannigfaltigkeiten. Sei i: M → N eine
Inklusion einer Untermannigfaltigkeit. Dann ist T p i injektiv, da in lokalen Koordinaten
bezüglich angepaßter Karten i die Inklusion eines Unterraumes (eingeschränkt
auf offene Teile) ist, und das Differential von i ist diese Inklusion.
Falls T p N festgelegt ist, so ist das Bild von T p i unabhängig von der Wahl von
T p M. Wir wählen deshalb oft dieses Bild als ein Modell für T p M. Genauer:
Ist K = (U, Φ, V ), V ⊂ R n eine angepaßte Karte und k = (U ∩ M, ϕ, W ),
W ⊂ R m ∼ = R m × 0 ⊂ R n ihre Einschränkung, dann verwenden wir i k und i K im
Diagramm
T p N
i K
✲ R n
✻ ∪
✻ ∪
T p M
i k
✲ R m
als Strukturdaten eines Tangentialraumes, und T p i wird wegen der Kommutativität
die Inklusion T p M ⊂ T p N.
✸
Falls speziell M eine Untermannigfaltigkeit von R n ist, so wird nach (7.2) T p M
mit einem Unterraum von R n identifiziert. Dieser Unterraum hat folgende Interpretation
durch Tangenten. Sei α: ] − ε, ε[ → M eine glatte Kurve mit α(0) = p.
Dann gilt für die Ableitung dα/dt(0) ∈ T p M ⊂ R n , und T p M ist die Gesamtheit
dieser ≪Geschwindigkeitsvektoren≫ von solchen Kurven α.
(7.3) Satz. Sei f: M → N eine Immersion und eine topologische Einbettung.
Dann ist f eine glatte Einbettung.
Beweis. Wir zeigen, daß f(M) eine Untermannigfaltigkeit von N ist. Sei f(a) =
b. Wir wählen U, V, W und F gemäß (3.4.2). Da U offen ist und M → f(M) ein
Homöomorphismus, ist f(U) offen in f(M). Also gilt f(U) = f(M)∩P mit einer
geeigneten offenen Menge P ⊂ N. Es ist R = V ∩ P eine offene Umgebung von
b, und nach Konstruktion gilt R ∩ f(M) = f(U). Nach (7.1.2) genügt es f(U)
als Untermannigfaltigkeit von R zu erweisen. Setzen wir Q = F −1 R, so haben
wir einen Diffeomorphismus F : Q → R, der U × 0 bijektiv auf f(U) abbildet. Da
U × 0 Untermannigfaltigkeit von U × W ist, so auch Q. Nun wenden wir (7.1.3)
an.
Nach Voraussetzung hat f: M → f(M) eine stetige Umkehrabbildung. Die
Umkehrung ist differenzierbar, da f: M → f(M) ein injektives (aus Dimensionsgründen
also ein bijektives) Differential hat, und deshalb ein lokaler Diffeomorphismus
ist.
✷
(7.4) Folgerung. Sei M kompakt und f: M → N eine injektive Immersion.
Dann ist f eine glatte Einbettung, da eine bijektive stetige Abbildung eines kompakten
Raumes in einen hausdorffschen ein Homöomorphismus ist. ✷