Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

6 Bündel
1 Prinzipalbündel. Faserbündel
Freie eigentliche glatte Operationen haben oft die Erscheinungsform eines sogenannten
Prinzipalbündels. Sei E eine glatte G-Mannigfaltigkeit und p: E → B
eine glatte Abbildung. Diese Daten bilden ein glattes G-Prinzipalbündel, wenn
gilt:
(1) Für x ∈ E und g ∈ G gilt p(gx) = p(x).
(2) Zu jedem b ∈ B gibt es eine offene Umgebung U und einen G-
Diffeomorphismus ϕ: p −1 (U) → G × U, genannt Bündelkarte, so daß
pr 2 ◦ϕ = p. Dabei operiert G auf G × U durch Linkstranslation auf dem
ersten Faktor (g, (h, x)) ↦→ (gh, x).
Aus der Existenz der Bündelkarten folgt: Die Operation auf E ist frei (weil auf
G × U frei), p ist eine Submersion (weil pr: G × U → U eine ist), p induziert
einen Homöomorphismus p: E/G → B (weil p und die Orbitabbildung offen
sind) und die Differenzabbildung ist stetig (weil sie für G × U stetig ist). Da wir
den Orbitraum als hausdorffsch vorausgesetzt haben, erhalten wir insgesamt:
(1.1) Notiz. Ist p: E → B ein glattes G-Prinzipalbündel, so operiert G frei und
eigentlich auf E.
✷
(1.2) Satz. Sei M eine freie eigentliche glatte G-Mannigfaltigkeit. Dann ist die
Orbitabbildung p: M → M/G ein G-Prinzipalbündel.
Beweis. Wegen (8.3) müssen wir nur noch die Existenz von Bündelkarten zeigen.
Sei s: U → M ein lokaler glatter Schnitt von p über der offenen Menge
U ⊂ M/G. Dann sind ψ: G × U → p −1 (U), (g, u) ↦→ gs(u) und ϕ: p −1 (U) →
G × U, x ↦→ (t(sp(x), x), p(x)) zueinander inverse G-Diffeomorphismen. Hierbei
ist t: C → G die nach dem letzten Abschnitt zu einer eigentlichen Operation
gehörende Differenzabbildung.
✷
Nach diesem Satz können wir also freie eigentliche glatte G-Mannigfaltigkeiten
mit glatten G-Prinzipalbündeln identifizieren.
(1.3) Notiz. Sei p: E → B ein glattes G-Prinzipalbündel, jetzt aber mit Rechtsoperation,
und F eine glatte G-Mannigfaltigkeit mit Linksoperation. Dann ist die
G-Operation
G × (E × F ) → E × F,
(g, x, y) ↦→ (xg −1 , gy)
eigentlich. Wir bezeichnen den Orbitraum der Operation auf E × F mit E × G F .
Die Projektion q: E × G F → B ist lokal trivial mit typischer Faser F .
Beweis. Sei ϕ: p −1 (U) → U × G eine Bündelkarte. Dann haben wir Diffeomorphismen
q −1 (U) ∼ = p −1 (U) × G F ∼ = (U × G) × G F ∼ = U × F,