Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 2 Der Satz von Pontrjagin und Thom 107
(2.5) Notiz. ξ-bordant ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der ξ-
Untermannigfaltigkeiten von Q.
✷
Wir bezeichnen die Menge der ξ-Bordismenklassen mit L(Q, ξ). Der Hauptsatz
dieses Abschnittes bestimmt diese Menge als die Homotopiemenge [Q, M(ξ)].
Wir konstruieren zueinander inverse Abbildungen zwischen diesen Mengen. Sei
h: Q → M(ξ) eine stetige Abbildung. In der Homotopieklasse von h gibt es eine
zu B transverse Abbildung g; sei M g = g −1 (B). Das Differential von g liefert eine
Bündelabbildung α g : ν → ξ, und (M g , α g ) ist damit eine ξ-Untermannigfaltigkeit.
Sind g 0 und g 1 zwei homotope und zu B transverse Abildungen, so gibt es nach
dem Transversalitätssatz eine zu B transverse Homotopie g t zwischen ihnen.
Deren Urbild liefert dann einen ξ-Bordismus zwischen den aus g i konstruierten
ξ-Untermannigfaltigkeiten. Somit erhalten wir eine wohldefinierte Abbildung
π: [Q, M(ξ) → L(Q, ξ)].
(2.6) Satz von Pontrjagin-Thom. Die vorstehend konstruierte Abbildung π
ist eine Bijektion.
Beweis. Wir konstruieren eine Umkehrabbildung ρ. Sei α: ν → ξ eine glatte
Bündelabbildung. Nach Wahl einer tubularen Umgebung t: E(ν) → Q konstruieren
wir daraus eine Pontrjagin-Thom-Abbildung h M,α , wie weiter oben beschrieben.
Wir wollen ρ[M, α] = [h M,α ] setzen und müssen dazu nachweisen, daß die
Vorschrift wohldefiniert ist. Zu diesem Zweck wenden wir die Pontrjagin-Thom-
Konstruktion auf einen ξ-Bordismus an und erhalten eine Homotopie zwischen
den Pontrjagin-Thom-Abbildungen, die sich aus den beiden Randteilen des Bordismus
ergeben.
Es ist πρ = id. Das folgt direkt aus den Definitionen, da h M,α eine zu B
transverse Abbildung ist, deren Differential genau α induziert. Deshalb ist also
ρ injektiv. Die Surjektivität folgt daraus, daß eine Abbildung in Normalform im
Bild von ρ liegt.
✷
Sei M eine geschlossene zusammenhängende (n + k)-dimensionale Mannigfaltigkeit.
Der Satz von Pontrjagin-Thom läßt sich auf die Homotopiemenge [M, S n ]
anwenden, wenn man S n ∼ = R n ∪ {∞} als Thom-Raum des Bündels über einem
Punkt ansieht. Man hat in diesem Falle Untermannigfaltigkeiten A ⊂ M der
Kodimension n zusammen mit einer Trivialisierung ϕ: ν(A, M) → nε des Normalenbündels
zu betrachten sowie Bordismenklassen von solchen. Eine Trivialisierung
eines Bündels wird auch Rahmung genannt. Wird ein Normalenbündel
gerahmt, so sprechen wir von Normalen-Rahmung.
(2.7) Beispiel. Der Fall k = 0 liefert einen neuen Zugang zum Satz von Hopf.
Eine 0-Mannigfaltigkeit A ⊂ M ist eine endliche Menge. Ist P ∈ M, so identifizieren
wir ν(P, M) kanonisch mit dem Tangentialraum T P M. Eine Rahmung ist
in diesem Fall also nichts anderes als ein Isomorphismus T P M → R n . Sei M orientiert.
Für ϕ: T P M → R n setzen wir ε(ϕ) = +1, wenn ϕ orientierungstreu ist,
sonst ε(ϕ) = −1. Eine Untermannigfaltigkeit A mit Rahmung ϕ = {ϕ a | a ∈ A}
erhält die Invariante ε(A, ϕ) = ∑ a∈A ϕ(ϕ a) ∈ Z. Der Satz von Hopf ist dann in