Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 1 Isotopien 57
E(ν) über dem Kartenbereich V um p trivial. Dann ist f 1 (E(ν)|V ) eine offene
Umgebung von V ⊂ M ⊂ N in N. Sei W ⊂ E(ν) eine offene Umgebung von
p ∈ M, so daß f 0 (W ) ⊂ f 1 (E(ν)|V ). In W wählen wir eine Menge der Form
E(ν, η)|U, η > 0 mit einem Kartenbereich U, über dem E(ν) trivial ist. Mit einer
glatten Partition der Eins verschafft man sich nun eine positive glatte Funktion
ε: M → R, so daß für alle (U, η) wie eben ε(x) < η für x ∈ U. Aus E(ν, ε) erhalten
wir durch Schrumpfung von f 0 eine geeignete Tubenabbildung. Das Argument
unter (1) zeigt, daß Schrumpfung nicht die strenge Isotopieklasse verändert.
Einbettungen werden als geometrisch gleichwertig angesehen, wenn sie ambient
isotop sind. Eine glatte Einbettung f: S 1 → R 3 heißt Knoten im R 3 . Die
zugehörige ambiente Isotopieklasse heißt der Knotentyp von f. Das Komplement
des Bildes ist der Knotenaußenraum, und seine Fundamentalgruppe heißt die
Knotengruppe. Die Knotentheorie ist die Untersuchung der Knotentypen. Isotope
Knoten sind immer ambient isotop. Die Frage nach der Bestimmung der
ambienten Isotopieklassen von Einbettungen M → N könnte man das allgemeine
Knotenproblem nennen.
(1.3) Satz. Sei M eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit ohne Rand einer
Dimension größer als 1. Seien {y 1 , . . . , y n } und {z 1 , . . . , z n } Teilmengen von M.
Dann gibt es einen zur Identität diffeotopen Diffeomorphismus h: M → M mit
h(y i ) = z i für 1 ≤ i ≤ n. Die Diffeotopie läßt sich außerhalb einer kompakten
Menge als konstant annehmen.
Beweis. Sei n = 1, y 1 = y, z 1 = z. Die Möglichkeit, y und z vermöge eines
h zu verbinden, definiert eine Äquivalenzrelation auf M. Wenn wir zeigen, daß
die Äquivalenzklassen offen sind, so folgt die Behauptung in diesem Fall wegen
des Zusammenhangs von M. Um die Offenheit zu zeigen, genügt es, eine lokale
Situation M = R zu betrachten. Wir zeigen: Zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0
und für jedes z ∈ R mit ‖z‖ < δ eine Diffeotopie h t von R, die h 1 (0) = z erfüllt
und für ‖y‖ ≥ ε konstant ist. Für k = 1 konstruieren wir eine solche Isotopie in
der Form h t (x) = x + tρ(x)z mit glattem ρ: R → R mit ρ(0) = 1 und Träger in
[−ɛ, ɛ]. Die Ableitung von h t ist positiv, sofern |tρ ′ (x)z| < 1 ist für |z| < δ. Da
h t beschränkt von der Identität abweicht, also eigentlich ist und eine injektive
Immersion, ist h t eine Einbettung.
Für k > 1 kann man zunächst durch Rotation annehmen, daß z die Form z =
(z 1 , 0) ∈ R×R k−1 hat. Sei σ: R k−1 → [0, 1] eine glatte Funktion mit σ(0) = 1 und
Träger in D η (0). Für (x, y) ∈ R 1 ×R k−1 setzen wir h t (x, y) = (x+tσ(y)ρ(x)z 1 , y).
Wegen des Falls k = 1 ist h t ein Diffeomorphismus von R×{y} für jedes y. Durch
Betrachtung der Funktionalmatrix sieht man dann, daß h t eine Immersion ist und
als bejektive Abbildung ein Diffeomorphismus ist. Die Diffeotopie ist für |x| ≥ ε
oder ‖y‖ ≥ η konstant.
Für n > 1 führen wir den Beweis durch Induktion nach n. Es gibt eine Diffeotopie
k t von N = M \ {y n , z n } mit k 1 (y i ) = z i für i < n und k 0 = id, weil
wegen dim M > 1 auch N zusammenhängend ist. Da k t außerhalb einer kompakten
Menge stationär ist, so sind alle k t in einer Umgebung von y n und z n