Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

142 8 Weiteres T. tom Dieck
Eine allgemeine Methode, Mannigfaltigkeiten zu konstruieren, besteht darin,
sie aus Mannigfaltigkeiten mit Rand durch Randverheftung zusammenzusetzen.
Wir geben einige Beispiele.
(3.4) Verbundene Summe. Seien M 1 und M 2 n-Mannigfaltigkeiten. Wir
wählen glatte Einbettungen s i : D n → M i , die etwa vorhandene Ränder nicht
treffen. In M 1 \ s 1 (E n ) + M 2 \ s 2 (E n ) werde s 1 (x) mit s 2 (x) für alle x ∈ S n−1
identifiziert. Das Resultat ist nach (3.1) eine glatte Mannigfaltigkeit, genannt die
verbundene Summe M 1 #M 2 von M 1 und M 2 . Bis auf Diffeomorphie ist die verbundene
Summe im wesentlichen von der Wahl der Einbettungen unabhängig:
Sind M 1 , M 2 orientierte zusammenhängende Mannigfaltigkeiten, so muß man die
Einbettung s 1 als orientierungstreu, die Einbettung s 2 dagegen als untreu voraussetzen;
dann trägt M 1 #M 2 eine Orientierung, die M i \s i (E n ) als orientierte Teile
besitzt, und der orientierte Diffeomorphietyp ist von der Wahl der s i unabhängig.
Ändert man die Orientierung einer Mannigfaltigkeit, so kann sich durchaus ein
anderes Resultat ergeben.
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Für geschlossene 3-Mannigfaltigkeiten gibt es einen Existenz- und Eindeutigkeitssatz
über die Zerlegung bezüglich # in unzerlegbare Summanden, der auf
H. Kneser [?] und Milnor [?] zurückgeht (siehe auch [60]).
(3.5) Henkel. Sei M eine n-Mannigfaltigkeit mit Rand. Wir wählen eine Einbettung
s: S k−1 × D n−k → ∂M und benutzen sie dazu, in M + D k × D n−k
Punkte s(x) und x zu identifizieren. Das Resultat, nach (3.3) mit einer glatten
Struktur versehen, wird Anheften eines k-Henkels an M genannt. Ist M eine
3-Mannigfaltigkeit, vorgestellt als Körper im Raum, so entspricht dem Anheften
eines 1-Henkels auch anschaulich das Anheften eines Henkels. Das Resultat der
Anheftung hängt, auch bis auf Diffeomorphie, von der Wahl der Einbettung s
ab. Ist etwa M = D n + D n , so kann man die beiden Kopien von D n durch einen
1-Henkel verbinden oder nur an einen Summanden einen Henkel anheften.
Anheften eines Nullhenkels bedeutet die disjunkte Summe mit D n . Anheften
eines n-Henkels bedeutet, daß ein Loch“ mit dem Rand S n−1 geschlossen wird.
”
Es ist eine fundamentale Tatsache, daß sich jede (glatte) Mannigfaltigkeit
durch sukzessives Anheften von Henkeln aus der leeren Mannigfaltigkeit gewinnen
läßt. Ein Beweis kann mit der nach Marston Morse benannten Morse-Theorie
geführt werden (siehe etwa [100] [102]).
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(3.6) Elementare Chirurgie. Entsteht M ′ aus M durch Anheften eines k-
Henkels, so wird ∂M ′ aus ∂M durch einen Prozeß gewonnen, der elementare
Chirurgie genannt wird. Es handelt sich um die folgende Konstruktion. Sei
h: S k−1 × D n−k → X eine Einbettung in eine (n − 1)-Mannigfaltigkeit mit Bild
U. Dann hat X \U ◦ ein Randstück, das vermöge h zu S k−1 ×S n−k−1 diffeomorph
ist. Dieses fassen wir als Rand von D k × S n−k−1 auf und verheften die Randteile
mittels h; symbolisch
X ′ = (X \ U ◦ ) ∪ h D k × S n−k−1 .