Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 5 Orientierung 97
von ξ wird durch f von der Überlagerung p induziert und p selbst hat eine klassifizierende
Abbildung q: BO(n) → BZ/2. Die klassifizierende Abbildung der
Orientierungsüberlagerung von ξ liefert ein Element
w 1 (ξ) ∈ [B, B(Z/2)] = [B, K(Z/2, 1)] = H 1 (B; Z/2)
und wird erste Stiefel-Whitney-Klasse von ξ genannt. (Wir benutzen hier die
Gleichung B(Z/2) = K(Z/2, 1) aus VI.2 und die homotopische Definition der
Kohomologie durch Eilenberg-MacLane-Räume. Siehe auch das Kapitel über charakteristische
Klassen.) Wegen Z/2 ∼ = O(1) ist w 1 (ξ) auch das klassifizierende
Element von Λ n ξ. In dieser Terminologie ist also ein Bündel genau dann orientierbar,
wenn seine erste Stiefel-Whitney Klasse gleich Null ist. Die Orientierungen
des durch f: B → BO(n) gegebenen Bündels entsprechen den Abbildungen
F : B → BSO(n), die p ◦ F = f erfüllen, die also f hochheben. Zu diesen Aussagen
vergleiche man VI.2, wo ein Faserbündel BO(n) → B(O(n)/SO(n)) mit
Faser BSO(n) konstruiert wird, und die zugehörige exakte Homotopiesequenz
einer Faserung.
Eine Volumenform auf einer glatten n-Mannigfaltigkeit ist ein Schnitt M →
Λ n T M ∗ ohne Nullstellen. Da ein Bündel genau dann trivial ist, wenn dieses für
sein duales Bündel der Fall ist, so sehen wir: M hat genau dann eine Volumenform,
wenn M orientierbar ist.
Ist η ein komplexes Vektorraumbündel und ξ = η R das zugrundeliegende reelle
Bündel, so trägt ξ eine kanonische Orientierung, nämlich durch die kanonische
Orientierung in jeder Faser. Aus der Gleichheit SO(2) = U(1) folgt: Ein zweidimensionales
reelles Bündel ξ ist genau dann orientierbar, wenn es zu einem
Bündel der Form η R isomorph ist.