Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

78 6 Bündel T. tom Dieck
2 Unterbündel. Quotientbündel
Seien ξ: E(ξ) → B und η: E(η) → C reelle Vektorraumbündel. Ein Bündelmorphismus
ξ → η ist ein kommutatives Diagramm
E(ξ)
ξ ❄
B
Φ ✲
ϕ
✲
E(η)
η
❄
C
mit einer Abbildung Φ, die Fasern linear in Fasern abbildet. Wir sagen, der Morphismus
liegt über ϕ; falls ϕ = id(B) ist, so sprechen wir von einem Morphismus
(einer Abbildung) über B. Bildet Φ Fasern bijektiv ab, so heißt der Morphismus
Bündelabbildung. Eine Bündelabbildung über B ist ein Isomorphismus von
Vektorraumbündeln, das heißt, die Umkehrabbildung ist wiederum eine Bündelabbildung,
wie mit Hilfe lokaler Trivialisierungen gezeigt wird. Eine Sequenz
ξ
α
1
✲ β
ξ2 ✲ ξ3 von Bündelmorphismen über B heißt exakt an der Stelle
ξ 2 , wenn über jedem Punkt von B eine exakte Sequenz von Vektorräumen
(nämlich Fasern) vorliegt. Ein Bündelmorphismus α: ξ 1 → ξ 2 hat über jedem
Punkt der Basis B einen Rang: den Rang der zugehörigen Faserabbildung. Die
Redeweise α hat konstanten Rang“ ist damit klar.
”
Eine Teilmenge E ′ ⊂ E eines Bündels p: E → B heißt Unterbündel von p,
wenn es einen Atlas aus Bündelkarten ϕ: p −1 (U) → U × R n (genannt angepaßte
Bündelkarten) so gibt, daß ϕ(E ′ ∩ p −1 (U)) = U × (R k × 0) ist.
(2.1) Satz. Sei α: ξ 1 → ξ 2 ein Bündelmorphismus über B von konstantem
Rang. Dann gelten die folgenden Aussagen:
(1) Kern α = ⋃ b∈B Kern α b ⊂ E(ξ 1 ) ist zusammen mit der Projektion auf B
ein Vektorraumbündel.
(2) Bild α = ⋃ b∈B Bild(α b) ⊂ E(ξ 2 ) ist zusammen mit der Projektion auf B
ein Vektorraumbündel.
(3) Es werde Kokern α = ⋃ b∈B E(ξ 2) b /Bild α b mit der Quotienttopologie von
E(ξ 2 ) aus versehen. Mit der kanonischen Projektion auf B ist Kokern α
ein Vektorraumbündel.
Beweis. Fraglich ist in allen drei Fällen nur die Existenz der Bündelkarten.
Um diese nachzuweisen, genügt es, Morphismen α zwischen trivialen Bündeln
α: B × R m → B × R n zu betrachten.
Zu (1). Wir fixieren b ∈ B, setzen K = Kern α b , L = Bild α b und wählen Projektionsoperatoren
q: R m → K und p: R n → L. Die Abbildung
γ x = (pα x , q): R m → L ⊕ K
ist für x = b ein Isomorphismus. Weil α x konstanten Rang hat, gibt es eine
Umgebung U von b, so daß für x ∈ U sowohl γ x ein Isomorphismus ist als auch