Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

70 5 Transformationsgruppen T. tom Dieck
(3.1) Satz. Sei M eine glatte G-Mannigfaltigkeit. Dann gilt:
(1) Eine Bahn C ⊂ M ist genau dann eine glatte Untermannigfaltigkeit, wenn
C als Teilraum lokal abgeschlossen ist.
(2) Ist die Bahn C lokal abgeschlossen und x ∈ C, so gibt es auf G/G x genau eine
glatte Struktur, so daß die Orbitabbildung G → G/G x eine Submersion ist. Die
Abbildung G/G x → C, gG x ↦→ gx ist ein Diffeomorphismus. Die G-Operation auf
G/G x ist glatt.
(3) Ist die Operation eigentlich, so gelten (1) und (2) für jede Bahn.
Beweis. (1) Wegen Äquivarianz hat β: G → M, g ↦→ gx konstanten Rang.
Nach dem Rangsatz gibt es deshalb eine offene Umgebung U von e, so daß
β(U) eine Untermannigfaltigkeit von M ist. Da C lokal abgeschlossen im lokal
kompakten Raum M ist, so ist C lokal kompakt und deshalb β: G → C nach
einem Satz der mengentheoretischen Topologie (??) eine offene Abbildung. Es
gibt also eine offene Menge W in M, so daß C ∩ W = β(U) ist. Folglich ist
C eine Untermannigfaltigkeit in einer Umgebung von x und wegen Äquivarianz
deshalb auch global.
(2) Da C lokal abgeschlossen ist, so hat C als Untermannigfaltigkeit eine glatte
Struktur. Wegen der Äquivarianz hat β: G → C konstanten Rang. Nach dem
Rangsatz ist dann β eine Submersion, da sonst nach dem Beweis von (1) β(G)
eine Untermannigfaltigkeit kleinerer Dimension wäre. Wir übertragen nun die
glatte Struktur von C auf G/G x .
(3) Ist die Operation eigentlich und frei, so sind die Bahnen sogar abgeschlossen.
Die Abbildung
G × {x}
⊂
−→ G × M
Θ
−→ M × M
hat nämlich {x}×C als Bild. Da die Operation eigentlich ist, ist Θ ein Homöomorphismus.
Also ist {x} × C als Bild der abgeschlossenen Menge G × {x} abgeschlossen,
und diese Menge liegt in {x} × M. Auch für den allgemeineren Begriff
von eigentlich sind die Bahnen abgeschlossen.
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4 Scheibendarstellungen
In diesen Abschnitt beschreiben wir die lokale Struktur glatter Operationen und
die tubularen Umgebungen von Bahnen.
(4.1) Satz. Sei M eine glatte G-Mannigfaltigkeit. Sei x ∈ M und G x kompakt.
Dann gibt es eine G x -äquivariante Karte (W, ψ, T x M), die in x zentriert ist.
Beweis. Wir gehen von einer beliebigen in x zentrierten Karte (U, ϕ, T x M)
aus. Die Orbitabbildung p: M → M/H ist abgeschlossen, da H = G x kompakt
ist. Also ist W = M \ p −1 p(M \ U) offen, H-invariant und in U enthalten. Wir
verwenden das invariante normierte Integral auf H: Das ist eine lineare Abbildung
∫
: C(H, R) → R, f ↦→
∫
f(h) dh auf dem Vektorraum der stetigen Funktionen
H → R, die die konstante Funktion 1 auf 1 abbildet und die Invarianzeigenschaft