Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

138 8 Weiteres T. tom Dieck
Nun ist aber b 0 = −1 = −µ 0 und deshalb − d 0
µ 0
= d 0 = E. Die Relation für j = 0
liefert s −1
0 f E = 1. Wenn man dieses einsetzt und die s i für i ≥ 1 durch ihre
Inversen ersetzt, erhält man die im Satz angegebene Präsentation.
✷
Indem man die bekannten Fundamentalgruppen der Flächen benutzt erhält
man mit analogen Beweis:
(2.4) Satz. Die Fundamentalgruppe einer Seifert-Faserung mit den Invarianten
(g, e; (µ 1 , ν 1 ), . . . , (µ m , ν m )) hat die Erzeugenden
und die Relationen
f, s 1 , . . . , s m , a 1 , b 1 , a g , b g
[s i , f] = [a i , f] = [b i , f] = s µ i
i d d i
= f E · ∏
s i · ∏
[a j , b j ] = 1.
Darin ist wiederum E = e + ∑ d i
µ i
∈ Z, und f wird durch eine reguläre
Faser repräsentiert. Die Fundamentalgruppe des Orbitraumes ist bekanntlich
〈 a 1 , b 1 , . . . , a g , b g | ∏ j [a j, b j ] = 1 〉. Die Orbitabbildung induziert die Projektion,
die s j und f auf 1 abbildet und die a j , b j identisch.
✷
(2.5) Beispiel. Jede glatte fixpunktfreie S 1 -Operation von S 1 auf S 3 ist orientiert
äquivariant diffeomorph zu einer Operation der Form (??). Außer den
bisher bewiesenen Sätzen benutzt man zum Beweis dieser Behauptung, daß eine
Gruppe der Form 〈 s 1 , . . . , s m , f | [s i , f] = s µ i
i f d i
= f ∏ E i s i = 1 〉 für m ≥ 3
und µ i > 1 niemals trivial ist. Um Letzteres einzusehen, dividiert man das im
Zentrum liegende Element f heraus. Es entsteht 〈 s 1 , . . . , s m | s µ ∏
i
i sj = 1 〉. Es
genügt, den Fall m = 3 zu betrachten. Die fragliche Gruppe hat die Form
T (a, b, c) = 〈 x, y | x a = y b = (xy) c = 1 〉.
Gruppen dieser Form heißen Schwarzsche Dreiecksgruppen. Sie treten in der
Theorie der Riemannschen Flächen auf und sind als nichttrivial bekannt (siehe
??). Um eine Operation auf S 3 zu erhalten, dürfen also höchstens zwei Ausnahmeorbits
auftreten. Die möglichen Fällen sind jetzt schnell aufgezählt. ✸
(2.6) Beispiel. Sei B = B(p, q, r) mit paarweise teilerfremden p, q, r. Die Ordnung
von H 1 (B) ist |epqr|, also gleich 1. Deshalb handelt es sich um eine Homologiesphäre.
Wir können nach den allgemeinen Sätzen die Fundamentalgruppe
bestimmen. Es ergibt sich
π 1 (B) = 〈 s 1 , s 2 , s 3 , f | [s i , f] = 1 = s p 1f dp = s q 2f dq = s r 3f dr = s 1 s 2 s 3 〉
wobei d p qr + d q pr + d r pq = 1 angesetzt wird, was wegen der paarweisen Teilerfremdheit
möglich ist. In diesem Fall ist E = 0.
Sei speziell (p, q, r) = (2, 3, 5). Dann ist d p = −1, d q = d r = 1. In der Fundamentalgruppe
lassen sich s 1 und f durch s 2 und s 3 ausrechnen, und es verbleibt
〈 s 2 , s 3 | s 3 2 = s 5 3 = (s 2 s 3 ) 2 〉 = Ĩ.
i
j