Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 4 Homotopiesphären 145
M(f) = D n ∪ f D n herzustellen. Die Mannigfaltigkeit M(f) ist homöomorph zur
Sphäre M(id) = S n . Zum Beweis ??
✸
(4.3) Satz. Sind f, g: S n−1 → S n−1 diffeotop, so sind M(f) und M(g) diffeomorph.
Die verbundene Summe M(f)#M(g) ist orientiert diffeomorph zu
M(fg).
Beweis.
(4.4) Satz. Die verbundene Summe zweier Homotopiesphären ist wieder eine.
Beweis.
Sei Θ n die Menge der orientierten Diffeomorphieklassen n-dimensionaler Homotopiesphären.
Die verbundene Summe induziert auf Θ n eine assoziative und
kommutative Verknüpfung mit neutralem Element S n . Es fragt sich. ob es Inverse
gibt. Jedenfalls ist M(f −1 ) invers zu M(f). Als Vorbereitung dient:
(4.5) Satz. Sei M eine n-Homotopiesphäre. Dann ist M#(−M) Rand einer
zusammenziebaren, orientierten, kompakten Mannigfaltigkeit.
Beweis.
(4.6) Beispiel. Sei a = (a 0 , a 1 , . . . , a n ), a i ≥ 2 ganz. seien a 0 und a 1 jeweils
teilerfremd zu den restlichen a j . Dann ist die Brieskorn–Mannigfaltigkeit B(a)
eine Z-Homologiesphäre. Für n ≥ 3 ist B(a) einfach zusammenhängend, also
eine Homotopiesphäre.
Beweis.
Ein h-Kobordismus (B; M 0 , M 1 ) zwischen geschlossenen Mannigfaltigkeiten
M i ist ein Bordismus B zwischen ihnen, für den die Inklusionen M i ⊂ B h-
Äquivalenzen sind. Wir zitieren zu weiterem Gebrauch den berühmten
(4.7) h-Kobordismensatz. Sei n ≥ 5. Sei B ein h-Kobordismus zwischen den
n-Mannigfaltigkeiten M i . Dann gibt es einen Diffeomorphismus B → M 0 ×[0, 1],
der auf M 0 die Identität ist. Insbesondere sind M 0 und M 1 diffeomorph. ✷
(4.8) Satz. Sei n ≥ 5. Die einfach zusammenhängende geschlossene n-
Mannigfaltigkeit M sei Rand einer kompakten zusammenziehbaren Mannigfaltigkeit
W . Dann ist M diffeomorph zu S n
Beweis.
(4.9) Folgerung. In Θ n ist für n ≥ 5 [−M] invers zu [M]. Wir haben damit
die Gruppe der Homotopiesphären Θ n zur Verfügung. Falls Θ n ≠ 0 ist, so gibt
es n-dimensionale exotische Sphären.
✷
Beweis.
(4.10) Satz. Für n ≥ 6 ist jede Homotopisphäre eine verdrillte Sphäre, insbesondere
auch homöomorph zu einer Sphäre.
✷
✷
✷
✷
✷
✷