Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 12 Eindimensionale Mannigfaltigkeiten 31
hausdorffsch. Enthielte nun V j
i innere Teilintervalle (also solche mit zweipunktigem
Rand), so wäre im Widerspruch zu (6.1) das Bild von V j
i → V i × V j , x ↦→
(x, g j i (x)) nicht abgeschlossen.
✷
Ebenso sieht man:
(12.3) Lemma. Die Abbildung h j j
i bildet jede Komponente von Vi
diffeomorph
auf eine Komponente von Vj
i so ab, daß ein inneres Ende einem randständigen
entspricht und umgekehrt.
✷
(12.4) Lemma. Besteht V j
i und damit auch Vj
i
M = U i ∪ U j und M ist kompakt.
aus zwei Komponenten, so ist
Beweis. Ist U i ∪ U j kompakt, so ist wegen des Zusammenhangs von M schon
M = U i ∪ U j , da U i ∪ U j dann sowohl offen als auch abgeschlossen ist. Seien
K i ⊂ U i kompakte Teilmengen, so daß h i (K i ) ein abgeschlossenes Intervall ist,
das beide Komponenten von V j
i trifft. Dann ist wegen (12.4) M = K 1 ∪ K 2 , also
M kompakt. Wir können übrigens K i so wählen, daß K 1 ∩ K 2 aus zwei Punkten
besteht, und sehen daraus leicht, daß M jedenfalls homöomorph zu S 1 ist, als
Quotient zweier Intervalle mit identifizierten Endpunkten.
✷
(12.5) Lemma. Sei α: J → J ein monoton wachsender Diffeomorphismus von
J = ]0, 1[ . Sei 0 < ε < 1 gegeben. Dann gibt es η ∈ ]ε, 1[ und einen Diffeomorphismus
δ: J → J, der für x ≤ ε mit α übereinstimmt und für x ≥ η die Identität
ist.
Beweis. Sei λ: R → R durch λ(x) = 0 für x ≤ 0 und λ(x) = exp(−x −1 ) für
x > 0 definiert. Das ist bekanntlich eine für x > 0 streng monoton wachsende
C ∞ -Funktion. Für a < b bilden wir damit
ψ a,b (x) = 1 −
λ(x − a)
λ(x − a) + λ(b − x) .
Sei 0 < M < 1 und ε < ζ < 1 so gewählt, daß für x < ζ die Ungleichung
α(x) < M gilt. Sei η = ψ ε,ζ . Dann ist
β(x) = α(x)η(x) + M(1 − η(x))
eine C ∞ -Funktion, die für x ≤ ε mit α übereinstimmt, für x ≥ ζ konstant gleich
M ist und für x < ζ streng monoton wachsend. Sei max(ζ, M) < η < 1. In
analoger Weise verschafft man sich eine Funktion γ, die für x ≤ ε Null ist, für
x ≥ η gleich x − M und für x ≥ ε streng monoton wachsend. Die Funktion
δ = β + γ hat die gewünschten Eigenschaften.
✷
(12.6) Lemma. Habe V j
i nur eine Komponente. Sei nach geeigneter Normierung
V i = ]0, 2[ , V j = ]1, 3[ undV j
i = ]1, 2[ . Dann gibt es einen Diffeomorphismus
Ψ: U i ∪ U j → ]0, 3[ , der auf U i mit h i übereinstimmt.
Beweis. Es ist U i ∩ U j vermöge h i , h j diffeomorph zu W = ]0, 2[ ∪ ϕ ]1, 3[ mit
ϕ = g j i . Es genügt also, einen Diffeomorphismus W → ]0, 3[ zu finden, der auf