Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 1 Bordismus 101
Mit Lemma (1.6) erhalten wir eine wohldefinierte Abbildung
(1.7) ∂: N n (X) → N n−1 (X 0 ∩ X 1 ), [M, f] ↦→ [M α , f α ].
Sie ist offenbar ein Homomorphismus. Wir bezeichnen mit j ν : X 0 ∩X 1 → X ν und
k ν : X ν → X die Inklusionen. Dann gilt:
(1.8) Satz. Die folgende Sequenz ist exakt.
. . .
∂ ✲ Nn (X 0 ∩ X 1 )
j ✲ Nn (X 0 ) ⊕ N n (X 1 )
k ✲ Nn (X)
∂ ✲ . . .
Darin ist j(x) = (j 0 ∗(x), j 1 ∗(x)) und k(y, z) = k 0 ∗y − k 1 ∗z. Die Sequenz endet mit
k ✲ N0 (X) ✲ 0.
Beweis. (1) Exaktheit an der Stelle N n−1 (X 0 ∩ X 1 ). Sei [M, f] ∈ N n (X) gegeben.
Dann wird M durch M α in die Teile B 0 = α −1 [0, 1] und B 2 1 = α −1 [ 1 , 1] mit
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gemeinsamem Rand M α zerlegt. Durch f wird B 0 nach X 1 abgebildet, so daß
j∗∂[M, 1 f] durch B 0 in N n−1 (X 1 ) als Nullelement erkannt wird. Damit ist j ◦∂ = 0
gezeigt.
Ist umgekehrt j(K, f) = 0, so gibt es singuläre Mannigfaltigkeiten (B i , F i ) in
X i mit ∂B 0 = K = ∂B 1 und F 0 |K = f = F 1 |K. Man identifiziert B 0 und B 1
längs K zu M; die Abbildungen F 0 und F 1 schließen sich dann zu F : M → X
zusammen. Auf M gibt es eine trennende Funktion α mit M α = K; mit Kragen
von K in B 0 und B 1 erhält man eine Einbettung K × [0, 1] ⊂ M, die K × { 1}
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identisch auf K ⊂ M abbildet; und dann wählt man α so, daß α(k, t) = t ist für
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k ∈ K, ≤ t ≤ 3 . Nach Konstruktion ist ∂[M, F ] = [K, f].
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(2) Exaktheit an der Stelle N n (X 0 ) ⊕ N n (X 1 ). Nach Definition ist k ◦ j = 0.
Sei x i = [M i , f i ] ∈ N n (X i ) gegeben. Ist k(x 0 , x 1 ) = 0, so gibt es einen Bordismus
(B, F ) zwischen (M 0 , k 0 f 0 ) und (M 1 , k 1 f 1 ). Wir wählen eine differenzierbare
Funktion ψ: B → [0, 1] mit den Eigenschaften:
(1) F −1 (X \ X i ) ∪ M i ⊂ ψ −1 (i) für i = 0, 1.
(2) ψ hat den regulären Wert 1.
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Sei (N, f) = (ψ −1 ( 1), F 2 |ψ−1 ( 1)). Dann ist 2 (ψ−1 [0, 1], F 2 |ψ−1 [0, 1 ]) ein Bordismus
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zwischen (N, f) und (M 1 , f 1 ) in X 1 ; entsprechendes gilt für (M 0 , f 0 ). Daraus sieht
man j[N, f] = (x 0 , x 1 ).
(3) Exaktheit an der Stelle N n (X). Es gilt ∂ ◦ k = 0, weil man zu (M 0 , k 0 f 0 ) +
(M 1 , k 1 f 1 ) eine trennende Funktion α: M 0 + M 1 → [0, 1] finden kann, für die
α −1 ( 1 ) leer ist.
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Sei umgekehrt α eine trennende Funktion für (M, f) in X und (B, f) ein
Nullbordismus von (M α , f α ) in X 0 ∩ X 1 . Wir zerteilen M längs M α in die beiden
Mannigfaltigkeiten B 1 = α −1 [0, 1] und B 2 0 = α −1 [ 1, 1] mit ∂B 2 1 = M α = ∂B 0 .
Sodann identifizieren wir B und B 0 bzw. B und B 1 längs M α = K und erhalten
(M i , f i ) = (B i ∪ K B, (f|B i ) ∪ F ) in X i .
Wenn wir zeigen, daß in N n (X) die Gleichung [M 0 , f 0 ] + [M 1 , f 1 ] = [M, f] gilt, so
ist damit die Exaktheit gezeigt. Zum Beweis der Gleichheit identifizieren wir in