Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

104 7 Bordismus T. tom Dieck
(1.12) Aufgaben und Ergänzungen.
1. Ω 0 (X) ist kanonisch isomorph zur freien abelschen Gruppe über π 0 (X).
2. Indem man zwei orientierten singulären Mannigfaltigkeiten ihr Produkt mit Produktorientierung
zuordnet und ?? beachtet, erhält man eine bilineare Abbildung
Ω m (X, A) × Ω n (Y, B) → Ω m+n (X × Y, X × B ∪ A × Y ).
(Analog im nicht-orientierten Fall.) Insbesondere erhält man für einen Punkt P und
Ω n = Ω n (P ) eine Verknüpfung Ω m × Ω n → Ω m+n . Damit wird Ω ∗ = (Ω n ) ein graduierter
Ring. Als Spezialfall der Produktbildung wird Ω ∗ (X, A) ein graduierter Modul
über Ω ∗ .
3. Seien M 1 und M 2 orientierte ∂-Mannigfaltigkeiten, die entlang einer Komponente
N i ⊂ ∂M i vermöge eines Diffeomorphismus ϕ: N 1 → N 2 zu M verheftet werden. Es
gibt eine Orientierung auf M, bezüglich der die kanonischen Einbettungen M i → M
orientierungstreu sind, sofern ϕ bezüglich der Rand-Orientierungen auf den N i die
Orientierung umkehrt.
Ein Kragen κ: ] − ∞, 0] × ∂M → M einer orientierten Mannigfaltigkeit M ist
orientierungstreu, wenn ] − ∞, 0] ⊂ R die Standard-Orientierung, ∂M die Rand-
Orientierung und ] − ∞, 0] × ∂M die Produkt-Orientierung trägt.
Um die Transitivität der Bordismenrelation nachzuweisen, muß man beim Identifizieren
zweier orientierter Bordismen die Orientierung so definieren, daß die beiden
ursprünglichen Bordismen orientierte Untermannigfaltigkeiten des neuen Bordismus
werden. Nach den obigen Bemerkungen ist das möglich.
2 Der Satz von Pontrjagin und Thom
In diesem Abschnitt leiten wir einen fundamentalen Zusammenhang zwischen
Mannigfaltigkeiten und Homotopiemengen her (2.6).
Seien M und N glatte Mannigfaltigkeiten und sei B ⊂ N eine glatte Untermannigfaltigkeit.
Seien B und N randlos und M kompakt. Wir setzen voraus,
daß f und f|∂M transvers zu B sind. Dann ist A = f −1 (B) eine Untermannigfaltigkeit
vom Typ 1 in M. Wir wählen strenge Tubenabbildungen t ξ : E(ξ) → M
für A in M mit Bild U und t η : E(η) → N für B in N mit Bild V . Wir versehen ξ
mit einer Riemannschen Metrik und setzten D(ξ, ε) für das Bündel der ε-Zellen
und U ε für das Bild von D(ξ, ε) bei t ξ . Wir wählen ε > 0 so klein, daß f(U ε ) ⊂ V
ist. Unter allen diesen Voraussetzungen gilt:
(2.1) Satz. Es gibt eine Homotopie f t von f = f 1 nach h = f 0 und ein ε > 0
mit den folgenden Eigenschaften:
(1) h|U ε entspricht vermöge t ξ und t η der Einschränkung auf D(ξ, ε) einer
Bündelabbildung E(ξ) → E(η) über f: A → B.
(2) Die Homotopie ist auf A und auf M \ U konstant.
(3) Für alle t ∈ I gilt f −1
t (N \ B) = M \ A.
Beweis. Wir setzen ϕ = t η ◦ f ◦ t −1
ξ
: D(ξ, ε) → E(η). Wir haben die kanonische
Homotopie von ϕ zu einer Bündelabbildung Φ, der Ableitung in Richtung der