Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

30 1 Mannigfaltigkeiten T. tom Dieck
(1) ‖f(x) − g(x)‖ ≤ ε(x) für alle x ∈ U.
(2) f(x) = g(x) für alle x ∈ A.
Beweis. Falls W ≠ R k ist, so betrachten wir die positive stetige Funktion
ε 1 (x) = min(ε(x), 1d(f(x), 2 Rk \ W )). (Hier bezeichnet d(x, Z) den Abstand des
Punktes x von der Menge Z bezüglich der Metrik d.) Erfüllt dann g: U → R k
die Ungleichung (1) des Satzes, so liegt das Bild von g in W . Es genügt deshalb,
den Fall W = R k zu betrachten.
Wegen der Stetigkeit von f und ε gibt es zu jedem p ∈ U \ A eine offene
Umgebung U p von p in U \ A, so daß ‖f(x) − f(p)‖ ≤ ε(x) für alle x ∈ U p .
Sei τ 0 , τ p | p ∈ U \ A eine glatte Partition der Eins, die U 0 , U p | p ∈ U \ A
untergeordnet ist. Dann wird durch g(x) = τ 0 (x)f(x) + ∑ p∈U\A τ p(x)f(p) eine
glatte Funktion g: U → R k definiert. Wegen Tr(τ p ) ⊂ U p ⊂ U \A gilt g(a) = f(a)
für a ∈ A. Es ist g(x) − f(x) = ∑ p∈U\A τ p(x)(f(p) − f(x)). Daraus folgt
‖g(x) − f(x)‖ ≤ ∑
≤
p∈U\A
τ p (x)‖f(p) − f(x)‖ =
∑
τ p (x)ε(x) ≤ ε(x).
∑
p∈U\A,x∈U p
τ p (x)‖f(p) − f(x)‖
Damit hat g die im Satz behaupteten Eigenschaften.
✷
12 Eindimensionale Mannigfaltigkeiten
Wir benutzen nun die voranstehenden Begriffsbildungen, um die eindimensionalen
Mannigfaltigkeiten zu klassifizieren.
(12.1) Satz. Eine zusammenhängende eindimensionale glatte Mannigfaltigkeit
ohne Rand ist diffeomorph zu R oder zu S 1 .
Einzelne Beweisschritte formulieren wir als Lemma. Zunächst eine Vorbereitung.
Sei M eine zusammenhängende eindimensionale Mannigfaltigkeit. Da M eine
abzählbare Basis hat, gibt es einen Atlas aus Karten (U j , h j , V j ), j ∈ J mit den
folgenden Eigenschaften: J ist abzählbar; V j ist ein offenes Intervall; für i ≠ j
ist U i ∩ U j von U i und U j verschieden. Es ist nützlich zu bemerken, daß durch
geeignete Normierung V j als ein beliebiges offenes Intervall gewählt werden kann.
Ist U i ∩ U j ≠ ∅, so ist h i (U i ∩ U j ) = V j
i eine nichtleere offene Teilmenge des
Intervalls V i . Diese Menge ist deshalb eine disjunkte Vereinigung von offenen
Teilintervallen. Ist a < b < c, so nennen wir b ein inneres und c ein randständiges
Ende des Teilintervalls ]b, c[ von ]a, c[.
(12.2) Lemma. Kein Teilintervall von V j
i hat einen zweipunktigen Rand in
V i . Es besteht folglich V j
i höchstens aus zwei Teilintervallen, die jeweils an den
Enden von V i liegen.
Beweis. Es ist U i ∪ U j homöomorph zu dem Raum Z, der aus V i + V j durch
die Identifizierung g j i = h j h −1
i : V j
i → Vj
i entsteht. Nach Voraussetzung ist Z