Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

106 7 Bordismus T. tom Dieck
(2) Es ist U = g −1 E und M = g −1 B.
(3) Die Verkettung (g|U)t: E(ν) → U → E ist eine Bündelabbildung über g.
Unter diesen Bedingungen ist g(Q \ U) = {∞} und g transvers zu B.
(2.4) Satz. Jede stetige Abbildung f: Q → M(ξ) ist homotop zu einer Abbildung
in Normalform.
Beweis. Wir ändern zunächst f so homotop zu g ab, daß g und g|∂Q transvers
zu B ⊂ M(ξ) sind.
Wir haben dann die glatte Untermannigfaltigkeit M = g −1 (B) ⊂ Q. Wir
betrachten W = g −1 (E) als Untermannigfaltigkeit und wählen eine strenge Tubenabbildung
t: E(ν) → W mit Bild U. Nach (2.1) können wir nach einer weiteren
Homotopie annehmen, daß g auf dem Bild D ⊂ U eines Zellenbündels D(ν, ε)
einer Bündelabbildung
Φ = gt: E(ν) → E(ξ)
entspricht. Wir definieren damit h: Q → M(ξ) durch Φt −1 auf U und als konstante
Abbildung mit Wert ∞ sonst. Dann ist h eine stetige Abbildung in Normalform.
Die Abbildungen g und h stimmen auf D überein. Sie bilden beide Q \ D ◦
nach M(ξ) \ B ab und stimmen auf dem Sphärenbündelrand S von D überein.
Nach (2.3) sind sie also homotop.
✷
Wir geben eine etwas andere Beschreibung der Abbildungen in Normalform.
Man bildet die Quotientabbildung Q → Q/(Q \ U). Das Bild Q/(Q \ U) ist
eine Einpunkt-Kompaktifizierung U c von U. Die Tubenabbildung t liefert einen
Homöomorphismus t −1 : U c → E(ν) c = M(ν). Die Bündelabbildung Φ: E(ν) →
E(ξ) liefert M(Φ): M(ν) → M(ξ). Insgesamt erhalten wir also
h M,Φ : Q → Q/(Q \ U) = U c → M(ν) → M(ξ).
Eine Konstruktion dieser Art heißt Pontrjagin-Thom-Konstruktion.
Mit Hilfe der Pontrjagin-Thom-Konstruktion erhalten wir eine Beschreibung
der Homotopiemenge [Q, M(ξ)] durch geeignete Bordismenklassen von Mannigfaltigkeiten.
Sei weiterhin E(ξ) → B ein glattes Vektorraumbündel über der geschlossenen
Mannigfaltigkeit B. Sei ferner Q ebenfalls eine geschlossene Mannigfaltigkeit. Eine
ξ-Struktur auf einer Untermannigfaltigkeit M von Q ist eine Bündelabbildung
f: ν → ξ des Normalenbündels ν von M in Q nach ξ. Das Paar (M, f) heißt
dann ξ-Untermannigfaltigkeit von Q. Zwei ξ-Untermannigfaltigkeiten (M 0 , f 0 )
und (M 1 , f 1 ) heißen ξ-bordant, wenn es eine ξ-Untermannigfaltigkeit (W, F ) von
Q × [0, 1] vom Typ 1 mit Rand
V 0 × 0 ∪ V 1 × 1 = W ∩ (Q × {0, 1})
gibt, deren ξ-Struktur f 0 und f 1 erweitert. Wir sagen dann, (W, F ) sei ein ξ-
Bordismus zwischen (M 0 , f 0 ) und (M 1 , f 1 ). Zum letzteren bemerken wir, daß
ν(W, Q × [0, 1])|M i kanonisch mit ν(M i , Q) identifiziert werden kann.