Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 2 Differentialgleichungen zweiter Ordnung und Sprays 49
(1.9) Satz. Eine glatte ∂-Mannigfaltigkeit besitzt einen Kragen.
Beweis. In Analogie zu (1.1) gilt: Sei X ein glattes Vektorfeld auf M, das
entlang ∂M nach innen weist. Durch jeden Punkt x ∈ ∂M gibt es eine maximale
Integralkurve k x : [0, b x [ → M mit Anfang x. Die Menge d(X) = {(x, t) | t ∈
[0, b x [ } ist offen in ∂M × [0, ∞[ und κ: d(X) → M, (x, t) ↦→ k x (t) glatt. Die
Abbildung κ hat in allen Punkten von ∂M × 0 maximalen Rang. Nach dem Satz
(9.4) gibt eine offene Umgebung U von ∂M × 0 in d(X), die durch κ auf eine
offene Umgebung V von ∂M in M diffeomorph abgebildet wird.
Sei κ: U → V ein Diffeomorphismus dieser Art. Ist ∂M kompakt, so gibt es
ε > 0, so daß ∂M × [0, ε[ ⊂ U ist. Durch k(x, t) = κ(x, εt) wird dann ein Kragen
gegeben. Im allgemeinen Fall gibt es wenigstens eine glatte positive Funktion
ε: ∂M → R, so daß {(x, t) | 0 < t < ε(x)} ⊂ U ist. Der Kragen wird dann durch
k(x, t) = κ(x, ε(x)t) gegeben.
✷
(1.10) Bemerkung. Ist A eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von M
und X ein Vektorfeld auf M, so daß X|A ein Vektorfeld auf A ist (das heißt
X(a) ∈ T a (A) ⊂ T a (M) für alle a ∈ A), so verläuft eine in A beginnende Integralkurve
von X vollständig in A. Ist X|A global integrierbar, so muß man A
nicht als abgeschlossen voraussetzen.
✸
2 Differentialgleichungen zweiter Ordnung und Sprays
Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit mit dem Tangentialbündel π M : T M → M.
Ein Vektorfeld ξ: T M → T T M heißt Differentialgleichung zweiter Ordnung oder
Vektorfeld zweiter Ordnung auf M, wenn T π M ◦ ξ = id(T M) ist. Ein Vektorfeld
ξ zweiter Ordnung heißt Spray auf M, wenn für alle s ∈ R und v ∈ T M
die Gleichheit ξ(sv) = T s(sξ(v) besteht. Hierin ist mit s auch die glatte Abbildung
s: T M → T M bezeichnet, die jeden Tangentialvektor mit dem Skalar s
multipliziert, und T s ist deren Differential.
Sei ϕM → N ein Diffeomorphismus. Jedem Vektorfeld ξ auf T M wird durch
η = T T ϕ ◦ ξ ◦ T ϕ −1 ein Vektorfeld η auf T N zugeordnet. Durch Einsetzen der
Definitionen verifiziert man:
(2.1) Notiz. η ist genau dann ein Vektorfeld zweiter Ordnung (ein Spray),
wenn dieses für ξ gilt.
✷
Ist U ⊂ M eine offene Teilmenge, so erhält man aus ξ durch Einschränkung
ξ: T U → T T U, und die Eigenschaft zweiter Ordnung oder Spray zu sein geht
dabei nicht verloren. Wir können uns deshalb einen Spray auf M in lokalen
Karten ansehen.
Sei U ⊂ R n offen. Dann identifizieren wir wie üblich
T U = UR n , T T U = (U × R n ) × (R n × R n ).
In dieser Darstellung hat ein Vektorfeld ξ auf T U die Form
(x, v) ↦→ (x, v, f(x, v), g(x, v)).