Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 1 Bordismus 103
∂[B, F ] = [M, f].
(2) Exaktheit bei N n (X). Sei [M, f] ∈ N n (A) gegeben. Wählen wir V = ∅ in
(1.10), so folgt [M, f] = 0 in N n (X, A). Damit ist j ∗ i ∗ = 0 gezeigt.
Sei j ∗ [M, f] = 0. Ein Nullbordismus von [M, f] in (X, A) ist ein Bordismus
von (M, f) in X zu (K, g) mit g(K) ⊂ A. Ein solcher Bordismus zeigt i ∗ [K, g] =
[M, f].
(3) Exaktheit bei N n (X, A). Unmittelbar aus den Definitionen folgt ∂ ◦ i ∗ = 0.
Sei ∂[M, f] = 0. Sei [B, F ] ein Nullbordismus von (∂M, f|∂M). Wir identifizieren
(M, f) und (B, f) längs ∂M und erhalten (C, g). Hilfssatz (1.10) zeigt j ∗ [C, g] =
[M, f].
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Eine grundlegende Eigenschaft der relativen Gruppen ist der Ausschneidungssatz.
Ein Beweis mittels singulärer Mannigfaltigkeiten ist möglich. Wir verweisen
jedoch auf die axiomatischen Untersuchungen zur Homologie, wo gezeigt wird,
wie er aus den anderen Eigenschaften folgt.
(1.11) Satz. Die Inklusion i: (X \ U, A \ U) → (X, A) induziert einen Isomorphismus
i ∗ : N n (X \ U, A \ U) ∼ = N n (X, A), sofern U ⊂ A ◦ .
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Der Bordismus-Begriff läßt sich auf Mannigfaltigkeiten mit zusätzlicher Struktur
erweitern. Wichtig sind insbesondere orientierte Mannigfaltigkeiten.
Seien M 0 und M 1 geschlossene glatte orientierte n-Mannigfaltigkeiten. Ein orientierter
Bordismus zwischen M 0 , M 1 ist eine glatte kompakte orientierte (n+1)-
Mannigfaltigkeit B mit orientiertem Rand ∂B zusammen mit einem orientierungstreuen
Diffeomorphismus ϕ: M 1 − M 0 → ∂B. Hier sind die Konventionen
über die Rand-Orientierung aus (??) zu beachten. Mit M 1 − M 0 ist die disjunkte
Summe der Mannigfaltigkeiten M 1 und M 0 gemeint, wobei M 1 die ursprüngliche
und −M 0 die entgegengesetzte Orientierung trägt. Mit diesen Konventionen
bestätigt man wie für (1.1), daß ”
orientiert bordant“ eine Äquivalenzrelation ist
(siehe dazu Aufgabe 3.). Analog behandelt man singuläre orientierte Mannigfaltigkeiten
und definiert damit eine Bordismengruppe Ω n (X). Natürlich hat jetzt
nicht mehr jedes Element die Ordnung 2. Für einen Punkt P gilt Ω 0 (P ) = Z,
Ω i (P ) = 0 für 1 ≤ i ≤ 3. Die Aussage über Ω 1 folgt, weil S 1 ein orientierter
Rand ist; die bekannte Klassifikation der orientierten Flächen als Sphäre mit
Henkeln zeigt, daß orientierte Flächen orientierte Ränder sind. Es ist eine bemerkenswerte
Tatsache, daß auch Ω 3 (P ) = 0 ist: Jede orientierte geschlossene
3-Mannigfaltigkeit ist ein orientierter Rand; für einen Beweis dieses Satzes von
Rohlin siehe [?]; er folgt auch aus [?] und [?].
Die exakten Sequenzen (1.8) und (1.9) sowie Satz (1.11) gelten entsprechend
für die Ω-Gruppen. In der Definition des Randoperators ∂: Ω n (X, A) → Ω n−1 (A)
verwendet man die Randorientierung.
Die Berechnung der Thomschen Bordismenringe N ∗ und Ω ∗ gehört zu den
großen Leistungen der algebraischen Topologie. Wir geben dazu zwei Ergebnisse
an: N ∗ ist ein Polynomring über Z/2 mit einem Erzeugenden u i in jeder Dimension
i ≠ 2 j − 1, und Ω ⊗ Q ist ein Polynomring über Q in Elementen, die durch
die komplexen projektiven Räume CP 2n repräsentiert werden.