Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 2 Tangentialbündel 37
die Projektion π M : T M → M, (p, v) ↦→ p. Zu jeder Karte k = (U, h, V ) der n-
Mannigfaltigkeit M definieren wir mit Hilfe der universellen Morphismen i k eines
Tangentialraums Bündelkarten
ϕ k : T U = ⋃ p∈U T p(M) → U × R n ,
(p, v) ↦→ (p, i k (v)).
Das Verheftungsprinzip des achten Abschnitts liefert:
(2.1) Satz. Es gibt genau eine Struktur eines glatten n-dimensionalen Vektorraumbündels
auf π M : T M → M, für die alle ϕ k glatte Bündelkarten sind. Insbesondere
ist damit T M eine glatte 2n-Mannigfaltigkeit und π M eine Submersion.✷
Das durch diesen Satz gewonnene Bündel heißt Tangentialbündel von M. Allgemein
kann man analog Vektorraumbündel aus Klebedaten von Bündelkarten
gewinnen. So entsteht das duale Tangentialbündel oder Kotangentialbündel T ∗ M
aus den Dualräumen T ∗ p (M) von T p (M). Verheftet wird jetzt mit den dualen
Abbildungen der Differentiale der Kartenwechsel.
Eine glatte Abbildung f: M → N induziert eine glatte, fasernweise lineare
Abbildung T f: T M → T N über f, die auf T p (M) gleich T p f ist; es gilt also
f ◦π M = π N ◦T f. Fasernweise lineare Abbildungen zwischen Vektorraumbündeln
heißen Bündelmorphismen.
Ist p: E → B ein Vektorraumbündel, so heißt eine Abbildung s: U → E mit
p ◦ s = id(U) ein Schnitt von p über U. Wir definieren: Ein glattes Vektorfeld
auf M ist ein glatter Schnitt von π M : T M → M. Ist f: M → R glatt, so ist
T p f ∈ T ∗ p M, und durch p ↦→ T p f wird ein glatter Schnitt des Kotangentialbündels
geliefert, der oft mit df: M → T ∗ M bezeichnet wird.
(2.2) Notiz. Sei M ⊂ R q eine glatte n-dimensionale Untermannigfaltigkeit.
Dann ist
T M = {(x, v) | x ∈ M, v ∈ T x M} ⊂ R q × R q
eine 2n-dimensionale glatte Untermannigfaltigkeit.
Beweis. Zum Beweis schreibe man M lokal als h −1 (0) mit einer Abbildung
h: U → R q−n , deren Differential überall den Rang q − n hat. Dann ist lokal T M
durch das Urbild der Null von
U × R q → R q−n × R q−n ,
(u, v) ↦→ (h(u), Dh(u)(v))
beschrieben, und diese Abbildung hat überall den Rang 2(q − n), was man am
besten durch Betrachtung der Einschränkungen auf U × 0 und u × R q erkennt.✷
Eine Riemannsche Metrik auf einem Vektorraumbündel p: E → B ist eine Familie
s b von Skalarprodukten auf den Fasern E b , die stetig (glatt) von b abhängen.
Letzteres bedeutet: Ist ϕ: p −1 (U) → U ×R n eine Bündelkarte und t b das vermöge
ϕ von E b auf R n übertragene Skalarprodukt, das bezüglich der Standardbasis
durch die positiv definite, symmetrische Matrix P (b) beschrieben wird, so hängt
P (b) stetig (glatt) von b ∈ U ab. Sind die s j Riemannsche Metriken des Bündels