Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 11 Partition der Eins 27
(2) Für jedes Tripel (i, j, k) ∈ J × J × J induziert g j i eine Bijektion
g j i : U j i ∩ U k i −→ U i j ∩ U k j ,
und es gilt g k j ◦ g j i = gk i als Abbildung von U j i ∩ U k i nach U i k ∩ U j k .
Wir nennen Familien (U j , U k j , g k j ) mit den genannten Eigenschaften eine Familie
von Klebedaten oder ein Klebedatum.
Zu einem Klebedatum betrachten wir die disjunkte Summe ∐ j∈J U j und darauf
die Äquivalenzrelation
x ∈ U i ∼ y ∈ U j sofern x ∈ U j i und g j i (x) = y.
Sei X die Menge der Äquivalenzklassen und h i : U i → X die Abbildung, die jedem
x ∈ U i seine Klasse zuordnet. Dann gilt: h i ist injektiv; setzen wir U(i) = Bild h i ,
so ist U(i) ∩ U(j) = h i (U j i ).
Sei umgekehrt X Quotient von ∐ i U i nach einer Äquivalenzrelation, so daß
alle kanonischen Quotientabbildungen h i : U i → X injektive Abbildungen auf
U(i) sind. Wir setzen U j i = h −1
i (U(i) ∩ U(j)) und g j i = h−1 j ◦ h i : U j i → Uj. i Dann
sind die U i , U j i , gj i ein Klebedatum.
(10.1) Notiz. In einem Klebedatum (U i , U j i , gj i ) seien die U i topologische
Räume, die U j i ⊂ U i offen und die g j i : U j i → Uj i Homöomorphismen. Trage X die
Quotienttopologie bezüglich der Restklassenabbildung p: ∐ U i → X. Dann gilt:
(1) Die h i sind Homöomorphismen auf offene Teilmengen von X.
(2) Sind alle U i Hausdorff-Räume, so ist X genau dann ein Hausdorff-Raum,
wenn γ j i : U j i → U i × U j , x ↦→ (x, g j i (x)) für alle (i, j) ∈ J × J eine abgeschlossene
Einbettung ist.
Seien die U i glatte n-Mannigfaltigkeiten und die g j i Diffeomorphismen. Dann ist
X lokal euklidisch von der Dimension n. Ist X hausdorffsch mit abzählbarer
Basis, so trägt X genau eine Struktur einer glatten n-Mannigfaltigkeit, bezüglich
der die h i glatte Einbettungen auf offene Untermannigfaltigkeiten sind. ✷
Der einfachste Fall von (10.1) liegt vor, wenn nur zwei Mannigfaltigkeiten
U 1 , U 2 gegeben sind und U 1 ⊃ V ϕ 1
✲ V 2 ⊂ U 2 ein Diffeomorphismus zwischen
offenen Teilen ist. Dann ist X = U 1 ∪ ϕ U 2 der Raum, der aus U 1 + U 2 entsteht,
indem v ∈ V 1 mit ϕ(v) ∈ V 2 identifiziert wird.
(10.2) Beispiel. Sei U 1 = U 2 = R n und U1 2 = U2 1 = R n \ {0}. Ist g1 2 = id,
so entsteht ein Raum, der nicht hausdorffsch ist, der sogenannte R n mit zwei ”
Nullpunkten“. Ist g1(y) 2 = y‖y‖ −2 , so ist das Resultat diffeomorph zu S n . ✸
11 Partition der Eins
Ein wichtiges Beweismittel der Topologie sind Partitionen der Eins. Eine Familie
(C j | j ∈ J) eines Raumes X heißt lokal endlich, wenn jeder Punkt x ∈ X eine
Umgebung hat, die nur endlich viele C j trifft. Der Träger Tr(t) von t: X → R ist
die abgeschlossene Hülle von t −1 (R \ 0). Eine Familie T = (t j : X → R | j ∈ J)