Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

20 1 Mannigfaltigkeiten T. tom Dieck
(7.5) Satz. Sei f: M → N glatt und q ∈ f(M) ein regulärer Wert. Dann ist
A = f −1 (q) eine glatte Untermannigfaltigkeit von M; ihre Kodimension ist gleich
der Dimension von N. Für jedes a ∈ A ist T a A der Kern von T a f.
Beweis. Sei a ∈ A. Nach (3.4.3) ist f in geeigneten lokalen Koordinaten um a
und f(a) die Projektion auf einen Unterraum. Die Punkturbilder einer Projektion
sind sicherlich Untermannigfaltigkeiten. Der Unterraum T a A ⊂ T a M liegt im
Kern von T a f und ist aus Dimensionsgründen gleich diesem Kern.
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(7.6) Satz. Sei M eine glatte m-Mannigfaltigkeit und N ⊂ M eine Teilmenge.
Folgende Aussagen sind äquivalent:
(1) N ist eine k-dimensionale glatte Untermannigfaltigkeit von M.
(2) Zu jedem a ∈ N gibt es eine Umgebung U von a in M und eine glatte
Abbildung f: U → R m−k , die in U den konstanten Rang m − k hat und für die
U ∩ N = f −1 (0) ist.
Beweis. (1) ⇒ (2). Sei (U, h, V ) eine an N angepaßte Karte von M. Sei p: V ⊂
R m → R m−k die Projektion auf die letzten m − k Koordinaten. Dann ist f =
ph: U → R m−k eine Abbildung mit den in (2) genannten Eigenschaften.
(2) ⇒ (1). Es genügt nach (7.1.2), M als offene Teilmenge von R m anzunehmen.
Dann verwenden wir (3.4).
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(7.7) Aufgaben und Ergänzungen.
1. Sei f: M → N eine bijektive glatte Abbildung. Das Differential habe konstanten
Rang. Dann ist f ein Diffeomorphismus.
2. Es gibt injektive Immersionen f: R → R 2 , die kein Homöomorphismus auf das Bild
sind.
8 Beispiele
Außerhalb des Nullpunktes hat f: R n+1 → R, x ↦→ ‖x‖ 2 ein von Null verschiedenes
Differential. Deshalb ist f −1 (c 2 ) = {x ∈ R n+1 | c = ‖x‖} = S n (c) eine glatte
Untermannigfaltigkeit des R n+1 . Wir nennen S n = S n (1) die n-Sphäre. Die S n (c)
sind alle untereinander diffeomorph (radiale Projektion). Die Untermannigfaltigkeit
S n ist diffeomorph zu der im zweiten Abschnitt durch Karten definierten
Mannigfaltigkeit S n . Zum Beweis zeigt man, daß die stereographischen Karten
auch Karten für die Untermanigfaltigkeit S n sind. Dazu benutzt man (5.1.1).
(8.1) Stiefel-Mannigfaltigkeiten. Sei V k (R n ) die Menge der orthonormalen
k-Tupel (v 1 , . . . , v k ) von Vektoren v j ∈ R n . Schreiben wir v j als Zeilenvektor in
eine Matrix, so ist V k (R n ) eine Teilmenge des Vektorraumes M = M(k, n; R)
der reellen k × n-Matrizen. Sei Sym(k; R) = S die Menge der symmetrischen
k × k-Matrizen. Die Abbildung f: M → S, A ↦→ A · A t hat V k (R n ) als Urbild der
Einheitsmatrix E. Das Differential von f an der Stelle E ist X ↦→ XA t +AX t . Die
Matrix X = 1 BA, B ∈ S hat das Bild B. Also ist E ein regulärer Wert von f und
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folglich V k (R n ) eine Untermannigfaltigkeit von M. Übrigens ist V n (R n ) = O(n).