Differenzierbare Mannigfaltigkeiten - Mathematisches Institut

T. tom Dieck 4 Der Abbildungsgrad 111
Summe d(f, y) = ∑ x∈P d(f, x, y) ∈ Z sinnvoll definiert. Falls f −1 (y) = ∅ ist, so
setzen wir d(f, y) = 0. Mit diesen Definitionen gilt:
(4.2) Satz. Es ist D(f) = d(f, y).
Beweis. Nach dem Umkehrsatz der Differentialrechnung gibt es paarweise disjunkte
offene Kartenbereiche U(x) um die Punkte x ∈ f −1 (y) = P , die bei f
diffeomorph auf einen Kartenbereich V um y abgebildet werden. Wir setzen ferner
voraus, daß V diffeomorph zu R n ist und wählen positive Parametrisierungen
ϕ x : U(x) ← R n und ψ: V ← R n . Sei ω eine Form mit kompaktem Träger in V
und ∫ ω ≠ 0. Es gilt
V
∫
f ∗ ω = ∑ ∫
∫ ∫
f ∗ ω, ω = ω.
M
x∈P
U(x)
N V
Nach Definition des Integrals ist
∫ ∫ ∫
f ∗ ω = ϕ ∗ xf ∗ ω =
R n
U(x)
R n (fϕ x ) ∗ ω,
∫
V
∫
ω = ψ ∗ ω.
R n
Diese beiden Integrale über R n unterscheiden sich um den Diffeomorphismus
ψ −1 ϕ x . Dessen Funktionaldeterminante ist genau dann überall positiv (bzw. negativ),
wenn d(f, x, y) = 1 (bzw. d(f, x, y) = −1) ist. Nach dem Transformationssatz
für Integrale ist deshalb
∫
∫
(fϕ x ) ∗ ω = d(f, x, y) ψ ∗ ω.
R n R n
Damit folgt die Behauptung.
Ist f nicht surjektiv, gibt es eine offene Menge V , die nicht im Bild von f
liegt, denn andernfalls gäbe es zu y /∈ f(M) kompakte Umgebungen K n mit
∩ n K n = {y} und f −1 (K n ) ≠ ∅, und da f eigentlich ist, wäre der Schnitt dieser
Urbilder nicht leer und y läge im Bild dieses Schnittes. Für eine Form ω mit
Träger in V ist dann f ∗ ω die Nullform, und deshalb ist D(f) in diesem Fall
gleich Null.
✷
Die Zahl d(f, y) können wir, unabhängig von der Integrationstheorie für jeden
regulären Wert definieren. Satz (4.2) enthält dann auch die interessante Aussage,
daß diese Zahl nicht von der Wahl des regulären Wertes abhängt. Wir notieren
einige unmittelbare Folgerungen aus den Definitionen.
(4.3) Satz. Der Abbildungsgrad hat die folgenden Eigenschaften:
(1) Ist f: M → N nicht surjektiv, so ist D(f) = 0.
(2) Sei der Grad für f: M → N und g: N → P definiert. Dann ist D(g ◦ f) =
D(g)D(f).
(3) Die Identität hat den Grad 1 und ein Diffeomorphismus den Grad ±1.
(4) D(f 1 × f 2 ) = D(f 1 )D(f 2 ), wenn für f j : M j → N j die Grade definiert sind
und die Produkte die Produktorientierung tragen.