Noelia Cáceres Sánchez TESIS DOCTORAL - Universidad de Sevilla

Capítulo 4: INFERENCIA DE VOLÚMENES DE TRÁFICO MEDIANTE LA TELEFONÍA MÓVIL 83
cópulas empíricas fueron estudiadas originalmente por Deheuvels (1979). La idea consiste en
construir una función cópula a partir de valores muestrales {(x1,y1), ..., (xn,yn)} recogidos para
las variables univariantes sin establecer dependencia de ningún parámetro. De esta forma, la
cópula es no paramétrica y queda definida únicamente a partir de la muestra de datos disponible.
Sea (x, y)≡{(x1,y1), ..., (xn,yn)} una muestra de tamaño n obtenida a partir de una distribución
bivariante (X, Y), la definición de cópula empírica (Nelsen, 2006) responde a la expresión:
C
i j
� �
�n n� nº de pares ( x, y) de la muestra tales que x� x
n
e y� y
n 1
� � I( xk n �
� x() i , yk � y( j)
) i, j �1,....
n
� � () i ( j)
n , � �
k 1
con x(i), e y(j) 1≤ i, j ≤ n, los estadísticos de orden definidos a partir de la muestra. Deheuvels
(1979) demostró que cuando el tamaño muestral crece, la cópula empírica converge a la cópula
verdadera. Es por ello que la cópula empírica constituye un instrumento adecuado para estudiar,
a grandes rasgos, la relación de dependencia entre U y V, y por tanto, la relación entre X e Y.
En este sentido, existe una cópula que representa la condición de independencia entre variables,
definida como Π(u,v)=u·v. Se dice que dos variables X e Y no son dependientes si y sólo si
C(u,v)=Π(u,v). Cuando C(u,v)≠Π(u,v), las variables X e Y son dependientes y la dependencia
depende de las variables a través de transformaciones crecientes no lineales de las variables.
Esta es una propiedad destacable de las funciones cópula, la posibilidad para detectar
independencia entre variables frente a otras medidas clásicas que no lo permiten como el
coeficiente de correlación lineal (que en caso de ser cero, únicamente permite confirmar la
ausencia de dependencia lineal entre las variables).
Una manera sencilla de presentar y comparar las cópulas es a través de los diagramas de
contorno. El diagrama de contorno de una cópula es la representación gráfica de sus curvas de
nivel, las cuales son conjuntos en [0, 1] n dados por C(u,v)=k, con k constante. Empleando estos
diagramas, se pueden comparar la cópula de independencia y la cópula empírica obtenida para
el conjunto de datos {xi, yi} en los puntos kilométricos o fronteras estudiadas (Figura 4-11). Se
aprecia que ambas cópulas muestran un comportamiento similar. A la vista de la similitud entre
ambas cópulas, y dado que la cópula empírica converge hacia la verdadera conforme el tamaño
muestral crece (Deheuvels, 1979), es posible afirmar que las variables X e Y no poseen una
relación de dependencia directa.
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