Noelia Cáceres Sánchez TESIS DOCTORAL - Universidad de Sevilla

Capítulo 5: APLICACIÓN A LA ESTIMACIÓN DE MATRICES ORIGEN-DESTINO 131
términos de penalización y los multiplicadores (actualizados según una sencilla regla) los que
fuerzan la convergencia hacia una solución factible óptima.
El procedimiento consiste en optimizar (minimizar) en x la función lagrangiana aumentada (26),
siendo el término ωl constante de una etapa a otra; mientras que los multiplicadores σl sólo
permanecen constantes durante cada etapa o subproblema. En cada etapa se hallan los x óptimos
para esos multiplicadores de modo que, una vez obtenido el óptimo para esa etapa del proceso,
se procede a actualizar los multiplicadores conforme a la regla
�
� � g ( x ) �� para
( n 1) ( n) ( n)
j j j
acometer la siguiente etapa (n+1) del proceso de optimización. Esto se repite hasta alcanzar un
grado de convergencia razonable. El operador �·� representa:
��
si � < 0
� � �
(27)
�0
si � � 0
En cada etapa o subproblema, es decir, en cada resolución aproximada de las sucesivas
lagrangianas aumentadas, el método empleado es el de Frank–Wolfe. Este método consiste en
hallar una dirección auxiliar resolviendo el problema (26) linealizado sin salirse de la región
factible. Esta dirección auxiliar determina una dirección de descenso que permite hallar un
nuevo estimado que mejore el valor de la función de lagrange aumentada.
■ Método de Frank–Wolfe
Centrando la atención en el algoritmo de Frank–Wolfe (F–W) presentado en términos de la
función Lagrangiana Aumentada genérica sujeta a restricciones de variables acotadas, el
problema que pretende ser optimizado mediante el método de aproximación lineal de F–W es:
Minimizar
x
s.a.
L
aug
�x� l�x�u N
x� �
para un vector constante de multiplicadores σ asociados a esta etapa del proceso. Se denota m al
contador para identificar las sucesivas estimaciones obtenidas por el algoritmo. El método de
F–W se basa en aproximar linealmente la función objetivo en torno al punto actual
(28)
( ) m
x . A
continuación, se busca el punto y de la región factible que minimice la función objetivo
linealizada, que se traduce en el problema de optimización lineal definido como:
y
� � T
( m)
Minimizar �L
x y
(a)
aug
s.a. l�y�u (b)
N
y ��
(c)
(29)