Noelia Cáceres Sánchez TESIS DOCTORAL - Universidad de Sevilla

134 ESTIMACIÓN DE MATRICES DE MOVILIDAD MEDIANTE DATOS DE TELEFONÍA MÓVIL
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Al finalizar cada etapa (m) de optimización, los multiplicadores para el nuevo subproblema
(m+1) se actualizan en función del estimado óptimo
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(33)
T y de los multiplicadores σ y τ
correspondientes a la etapa (m), de acuerdo con la regla (34). El proceso se da por concluido
cuando se alcanza un grado de convergencia que se considere razonable.
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Para minimizar la función Lagrangiana Aumentada mediante el algoritmo de Frank–Wolfe es
necesario calcular su gradiente, resolver el problema linealizado para hallar el punto extremo
auxiliar y la dirección de descenso, y obtener el paso óptimo. Teniendo en cuenta la ecuación
(24) de los volúmenes en fronteras v expresada en términos de Tij y de proporciones pk, de
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caminos o rutas usadas por los usuarios, es posible introducir una hipótesis que permita
obtener una aproximación de la derivada analítica y así obtener L � �
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(34)
� T fácilmente. Dicha
hipótesis consiste en considerar constantes las proporciones de viaje pk correspondientes a la
matriz O–D actual, T (m) , al producirse un cambio infinitesimal en los viajes de una única casilla
de la matriz, conservando el resto constantes. De modo que, las derivadas parciales de los
volúmenes de frontera v con respecto a las variables Tij se definen como:
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