Noelia Cáceres Sánchez TESIS DOCTORAL - Universidad de Sevilla

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Capítulo 5: APLICACIÓN A LA ESTIMACIÓN DE MATRICES ORIGEN-DESTINO 131 términos de penalización y los multiplicadores (actualizados según una sencilla regla) los que fuerzan la convergencia hacia una solución factible óptima. El procedimiento consiste en optimizar (minimizar) en x la función lagrangiana aumentada (26), siendo el término ωl constante de una etapa a otra; mientras que los multiplicadores σl sólo permanecen constantes durante cada etapa o subproblema. En cada etapa se hallan los x óptimos para esos multiplicadores de modo que, una vez obtenido el óptimo para esa etapa del proceso, se procede a actualizar los multiplicadores conforme a la regla � � � g ( x ) �� para ( n 1) ( n) ( n) j j j acometer la siguiente etapa (n+1) del proceso de optimización. Esto se repite hasta alcanzar un grado de convergencia razonable. El operador �·� representa: �� si � < 0 � � � (27) �0 si � � 0 En cada etapa o subproblema, es decir, en cada resolución aproximada de las sucesivas lagrangianas aumentadas, el método empleado es el de Frank–Wolfe. Este método consiste en hallar una dirección auxiliar resolviendo el problema (26) linealizado sin salirse de la región factible. Esta dirección auxiliar determina una dirección de descenso que permite hallar un nuevo estimado que mejore el valor de la función de lagrange aumentada. ■ Método de Frank–Wolfe Centrando la atención en el algoritmo de Frank–Wolfe (F–W) presentado en términos de la función Lagrangiana Aumentada genérica sujeta a restricciones de variables acotadas, el problema que pretende ser optimizado mediante el método de aproximación lineal de F–W es: Minimizar x s.a. L aug �x� l�x�u N x� � para un vector constante de multiplicadores σ asociados a esta etapa del proceso. Se denota m al contador para identificar las sucesivas estimaciones obtenidas por el algoritmo. El método de F–W se basa en aproximar linealmente la función objetivo en torno al punto actual (28) ( ) m x . A continuación, se busca el punto y de la región factible que minimice la función objetivo linealizada, que se traduce en el problema de optimización lineal definido como: y � � T ( m) Minimizar �L x y (a) aug s.a. l�y�u (b) N y �� (c) (29)
132 ESTIMACIÓN DE MATRICES DE MOVILIDAD MEDIANTE DATOS DE TELEFONÍA MÓVIL Entonces, con la solución en la m–ésima iteración del problema linealizado, nuevo estimado de (28) mediante la siguiente regla de actualización: � � ( m�1) ( m) ( m) ( m) ( m) ( m) ( m) ( m) ij ij ij ij ij ij y , se obtiene un x =x �� y �x �x �� d (30) Esta expresión está escrita en términos de la dirección de descenso en el estimado actual, d (m) , la cual es la diferencia entre el punto extremo auxiliar ( m) y y el estimado actual se obtiene como solución del siguiente problema de optimización unidimensional: ( m�1) ( m) ( m) �x �x � d � Minimizar λ Laug � s.a. 0 ��1 ( m) ij ( m) x . El paso donde λ pertenece al intervalo [0, 1] puesto que el punto auxiliar y está localizado en un vértice de la región factible definida por el conjunto poliédrico definido por (29). Por tanto, según el método de la Función Lagrangiana Aumentada, las restricciones funcionales (22) (c, d y e) se integran en una función objetivo equivalente, mientras que las restricciones de variables acotadas (22) (b) son tratadas directamente con el método de direcciones factibles (Frank–Wolfe). Con ello se consigue que las restricciones de variables acotadas se cumplan en todo momento, mientras que el cumplimiento de las restricciones funcionales es producto de un proceso iterativo que va penalizando las violaciones cometidas por medio de términos que aumentan la función de Lagrange clásica. 5.3.4.2 Implementación A continuación, se introduce una notación adicional a la presentada en la sección 5.3.3 para reescribir el método combinado de la función Lagrangiana Aumentada con el algoritmo de Frank–Wolfe en términos de magnitudes asociadas al problema de estimación de matrices O–D. Constantes: O � i factor de peso asociado a las restricciones de viajes generados por la zona i D � j factor de peso asociado a las restricciones de viajes atraídos por la zona j � factor de peso asociado a las restricciones de viajes totales ( m) � (31)
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