Noelia Cáceres Sánchez TESIS DOCTORAL - Universidad de Sevilla

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Capítulo 5: APLICACIÓN A LA ESTIMACIÓN DE MATRICES ORIGEN-DESTINO 137 0.61803 (razón áurea) veces más pequeño que el intervalo de búsqueda de la anterior iteración. En nuestro problema, el valor óptimo de λ se encuentra aplicando el algoritmo iterativamente dentro del intervalo inicial [0, 1] en la dirección dij (m) . De modo que una vez encontrado el paso óptimo, se procede a la actualización de la matriz O–D para la siguiente iteración. Para la finalización del algoritmo de optimización, la aproximación relativa a las proporciones de rutas pk implica cierto zigzagueo en los valores de la función objetivo entre estimaciones sucesivas, lo cual dificulta el poder incorporar un criterio de finalización basado en valores de las derivadas, en valores de la función objetivo en dos pasos consecutivos, o en la diferencia relativa entre dos estimados sucesivos. Por ello, el criterio de terminación del algoritmo se basa en i) un número máximo de subproblemas (o etapas Lagrangianas), y ii) un número máximo de iteraciones por subproblema. Es necesario especificar que no hay reglas específicas para elegir este número máximo de subproblemas e iteraciones, al igual que ocurría con las cotas superiores e inferiores definidas en (22), sino que estos valores dependen del criterio del planificador y su conocimiento práctico. Por último, indicar que una característica de este algoritmo es que la matriz O–D, para la cual se obtiene el mejor valor de la función objetivo dentro las diferentes iteraciones de una etapa o subproblema concreto, es almacenada y usada como punto de partida para el siguiente subproblema. 5.3.4.3 Especificaciones del modelo Por razones de simplificación de las ecuaciones, los valores de los factores de peso opcionales � |b serán fijados a uno para todas las fronteras de los casos prácticos que en los siguientes apartados se evalúan. Asimismo, se ha puesto especial interés en la elección de los factores de peso (� i O , � j D ,� ) asociados con las restricciones funcionales integradas dentro de la función Lagrangiana aumentada (32), y sobre el comportamiento del algoritmo desarrollado para niveles de congestión de la red (cuantificada por el número de iteraciones necesarias para conseguir una solución en equilibrio). El extenso rango o intervalo de valores en el cual se encuentran las magnitudes implicadas en el problema de estimación de matrices O–D, las cuales son viajes generados, atraídos y totales, insta hacia un proceso natural de escalado de las restricciones basado en los valores iniciales de dichas magnitudes, es decir, respecto al estimado inicial (0) T ij a diferentes niveles de agregación. Por tanto, cada restricción funcional (22) (c, d y e) es normalizada (o escalada) por su correspondiente valor inicial, resultando un conjunto de restricciones normalizadas que dan lugar a penalizaciones de violaciones de las restricciones proporcionales a valores relativos de las correspondientes magnitudes. En otras palabras, no posee la misma importancia exceder en
138 ESTIMACIÓN DE MATRICES DE MOVILIDAD MEDIANTE DATOS DE TELEFONÍA MÓVIL un viaje una cota superior de 10 que una cota superior de 10 4 , estando más penalizada la violación de la cota superior en la primera situación que en la última. El proceso de escalado de restricciones se presenta esquemáticamente para una pareja genérica de restricciones de viajes generados, lo cual obliga a modificar levemente la notación matemática para mostrar claramente la relación directa en la expresión (32). En primer lugar, se formulan las restricciones y la pareja correspondiente de multiplicadores como se indica: u � T O O i (0) i Oi � � T j�J ij � � (0) i (0) (0) Oi � � T j�J ij O � i � (0) � i � � �� i j�J ij O �0�� (0) i Oi O � T j J ij � l � i O �0�� (0) i Oi l u O O O para cada i � I con Oi (0) ≠ 0, donde Tij (0) representa la estimación actual, que en nuestro caso coincide con la matriz de partida o matriz O–D previa. Las restricciones impuestas sobre los viajes atraídos y los viajes totales deberán ser modificada de forma análoga usando las magnitudes D T (0) (0) j � � i�I ij para cada j � J con Dj (0) ≠ 0 y � l T u O O O O i (0) � j ij � (0) O i (0) i i i � l T u D D D D D j (0) � i ij � (0) j (0) j j j �� l T u T T T i j ij � � (0) (0) (0) � T T � � � (0) (0) i�I j�J ij En base al razonamiento anterior, dado que cada restricción está escalada (normalizada) respecto a su magnitud correspondiente – Oi (0) , Dj (0) o T (0) –, el término cuadrático de penalización de la función lagrangiana aumentada es re–formulado introduciendo un factor de peso global W común a todas ellas (� i O , � j D ,� ). Este factor de peso W se refiere a la ponderación del término de restricciones de la Lagrangiana Aumentada (32) con respecto a los términos de la función objetivo original: 2 2 � j�J O O � j�J O O �� i �� i � � �� i �� i � � O O ui � Tij 2 Tij �l � i 2 W � � � (43) � (0) (0) i�I � Oi O � i � � � donde las siguientes manipulaciones llevan hacia la definicion original dada en (32): . (41) (42)
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