Noelia Cáceres Sánchez TESIS DOCTORAL - Universidad de Sevilla

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Capítulo 5: APLICACIÓN A LA ESTIMACIÓN DE MATRICES ORIGEN-DESTINO 135 �v �T b a ij � � k�Kij � v � � v a�A � ab ak k a p � v �v � �� p �T �T b a ab ab ij a�A ij a�A k�Kij Con la expresión anterior se puede obtener fácilmente la expresión del gradiente de la Lagrangiana Aumentada, que viene dada por: �T� � no nd no nd � ak k �L �� aug �� T b ij �ak pk��v �� b ak p � k T �� ij b�B� a�b� k�Kij � a�b k�K � � ij � � � � O ��i � � � nd O O �Tij �li ��i j�1 � nd O O ui ��Tij ��i j�1 � � � � � D ��j �� no D D �Tij �lj �� j i�1 � no D D uj ��Tij �� j i�1 � �� Tij �l�� u� Tij ��i�I, j�J � � � � i�1 j�1 i�1 j�1 � Una vez calculado el gradiente, se procede a obtener el punto extremo yij del problema linealizado (29) que, adaptado al problema de ajuste de la matriz Tij, se convierte en: no nd �Laug Minimizar �� yij (a) yij �T i�1 j�1 ij m Tij s.a. l � y �u (b) ij ij ij N yij �� Debido a la estructura especial del problema, este punto extremo ( m) ij (c) (35) (36) (37) y se puede hallar de forma sencilla, sin necesidad de utilizar el método simplex, mediante la siguiente expresión lógica: � �L � � �L � � �L � y �� 0��l �� 0��T �� 0 ��u � i�I, j�J ( m) aug aug ( m) aug ij � �Tij ( m) Tij � ij � �Tij ( m) Tij � ij � �Tij ( m) Tij � ij � � � � � � Las sucesivas estimaciones del algoritmo de F–W son computadas con la siguiente adaptación de la expresión (30) conforme a la notación de matrices O–D: � � T = T �� y �T �T �� d , donde: � �� (39) ( m�1) ( m) ( m) ( m) ( m) ( m) ( m) ( m) ( m) ij ij ij ij ij ij ( m) ( m) ( m) para cada i � I, j � J, donde d � y �T es la dirección de descenso F–W . ij ij ij (38)
136 ESTIMACIÓN DE MATRICES DE MOVILIDAD MEDIANTE DATOS DE TELEFONÍA MÓVIL Finalmente, el cálculo del paso óptimo λ será la solución del problema unidimensional de optimización (31) adaptado a nuestro problema en notación O–D. Para ello es necesario formular la función Lagrangiana aumentada (32) para el nuevo estimado (m+1) expresándola en función del paso λ, es decir, evaluarla para � T �T �� d , donde T y ( m 1) ( m) ( m) ( m) ij ij ij conocidos; consiguiendo una función unidimensional Laug �� : 1 � � � � � � ( m) ( m) Laug �� b ��Tij�ak pk�� dij�ak pk��v � b 2 � � � �� b�B i�I j�J � � a�b k�Kij a�b k�K � � � � ij � �� 1 � O � �� i 2 i�I� � O ( m) ( m) O ui��Tij ��dij ��i j�J j�J 2 O 2 ��i� � ( m) ( m) O O �Tij ��dij �li��i j�J j�J 2 O 2� ��i� � � � 1 � D � ��j � 2 � j�J� D ( m) ( m) D uj ��Tij ��dij �� j i�I i�I 2 D 2 �� j � � ( m) ( m) D D �Tij ��dij �lj�� j i�I i�I 2 D 2� �� j � � � � 1 � � �� 2 � � 2 2 � ( m) ( m) 2 ( m) ( m) 2 u��Tij ��dij �� Tij ��dij �l�� i�I j�J i�I j�J i�I j�J i�I j�J � � 2 ( ) m ij d son El paso óptimo será la solución de un problema unidimensional de minimización de la función aug � � L � donde λ Є [0, 1] (31). Cabe destacar que la magnitud del desplazamiento permitido de T hasta ( m) ij y impide utilizar expresiones analíticas, como la usada en Spiess (1990), para el ( m) ij cálculo del paso ya que el cambio no es infinitesimal y no puede admitirse la hipótesis de que las proporciones permanecen costantes. Junto a ello, la existencia del operador �·�, definido en (27), condiciona la elección de un algoritmo robusto de búsqueda que, sin hacer uso del cálculo de derivadas, se encargue de minimizar una función unidimensional sobre un intervalo [a, b], tales como búsqueda dicotómica, exhaustiva, sección dorada, etc. En el algoritmo de Doblas y Benítez (2005) se utilizó el método de bisección pero, tras considerar la dificultad de usar derivadas y expresiones analíticas, se ha optado por el algoritmo denominado búsqueda por la “Sección Dorada”. Además de no usar información de la derivada de la función, este eficiente algoritmo tiene como ventaja el ser óptimo con respecto al número de evaluaciones de la función objetivo, conocido el intervalo de incertidumbre, el de definición de la función y sin necesidad de predefinir el número de iteraciones (i.e.: Fibonacci). Este hecho, teniendo en cuenta las dimensiones de las matrices manejadas, simplifica en gran medida los cálculos necesarios; de ahí su elección como método de resolución. El algoritmo se basa en la búsqueda del mínimo de una función unimodal, en este caso la función definida en (40), mediante reducciones iterativas del rango de búsqueda de valores de λ dentro del cual el óptimo se sabe que existe (Bazaraa y Shetty, 1979). El algoritmo garantiza que cada nueva evaluación de la función acotará el mínimo, tras aplicar los ratios correspondientes, dentro de un intervalo ( ) m ij (40)
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