Jakten på den hellige gral - Matematikk på nett - Nordreisa ...

More documents

Recommendations

Info

Matematikkens natur er altså ikke den samme som naturfagenes. Den matematiske hjernen er ikke nødvendigvis hjernen til en biolog eller kjemiker. Men hva er den? Det fins ikke all verdens studier av hvordan matematiske hjerner virker. 195 Klassikere – blant de få studiene som fins – er matematikerne Poincaré 196 og Hadamard 197 . Tidlig blei det hevda at det var to åpenbart ulike typer hjerner eller måter å bruke hjernene på hos de store matematikerne. Den ene metoden bygger på logikk: Når man leser verkene etter slike matematikere, får man inntrykk av at de har kommet til sine resultater med bitte små skritt som alle er fullstendige og som ikke har det minste hull i resonnementene. Den andre metoden styres av intuisjon som gjør raske, men noen ganger prekære erobringer, på kanten av det tillatte. 198 En norsk stormester i sjakk 199 sier noe liknende når han beskriver forskjellen mellom menneske og maskin i sjakkens verden: ”De beste sjakkprogrammene spiller i dag jevnt med verdens aller beste spillere. Mennesket er overlegent på intuisjon, mens maskinen er formidabel til å regne varianter. Likevel spiller de sjakk på omtrent samme nivå.” 200 Poincaré 201 peker på Weierstrass 202 som eksempel på en analytisk, logisk metode mens motpolen Riemann 203 brukte geometri som illustrasjon og hjelpemiddel. Konklusjonen hans blir blant annet at den ene er ute av stand til å se i rommet, og den andre går trøtt av de lange utregningene. I en annen språkbruk er det vel rimelig å se på skillet mellom forståelse som en lang prosess med mange blindveier og bomskudd og de utrolige aha-opplevelsene som ser ut til å komme fra intet – men som i de fleste tilfelle også er resultater av prosesser, om enn ikke så bevisste som andre resonnementer. I mange tilfelle vil problemløserens evne til å generalisere, syntetisere og abstrahere være avgjørende. Og de som behersker disse teknikkene – alle tre – vil ha alle forutsetninger for å lykkes i faget. En egenskap som er mer vrien å beskrive eller fange inn i velkjente begreper, er kreativitet, evnen til å skape nytt på grunnlag av det kjente. Ahaopplevelsen er en slik kreativ virksomhet, men den kan naturligvis være langt mer bevisst og resultat av målbevisst arbeid enn den synes. Når en skal angripe et problem, skjer nok dette på ulike måter, avhengig av problemstilling og av problemløserens kunnskaper og fantasi. Pedagoger, matematikere, lærde foreslår gjerne 195 Dreyfus 91, side 29 196 Poincaré 13 197 Hadamard 45 198 Poincaré 13, side 212, 215 og 220 199 Simen Agdestein (1967 – ) 200 Agdestein 05, side 39 - 40 201 Jules Henri Poincaré (1854 – 1912) 202 Karl Weierstrass (1815 – 1897) 203 Bernhard Riemann (1826 – 1866) 54
metoder som ikke er så ulike: Forstå problemet; utvikle en plan; gjennomføre planen og se tilbake på det du har gjort 204 . Eller: Sett i gang; angrip; (re)vurder 205 . Eller sagt på enda en annen måte: Overbevis deg sjøl; overbevis en venn; overbevis en fiende 206 . Forskning har vist at begavelse innafor matematikk kan knyttes til en analytisk evne. 207 Begavede studenter isolerer, vurderer og systematiserer de ulike elementene i en problemstilling. I tillegg til denne analytiske tilnærmingsmåten absorberer de problemene på en såkalt syntetisk måte: I tillegg til enkeltelementene ser man også sammenhenger og kompleksitet. Sann begavelse arbeider så raskt på sin analytisk-syntetiske måte at det faktisk kan være vanskelig å se og oppfatte hva som foregår. Evnen til å se generelle sammenhenger er påfallende i tillegg til evnen til å skifte fra den ene til den andre metoden. De mentale prosessene virker svært fleksible, og evnen til å ane at man er på rett spor, er godt utvikla. Vi kan ikke knytte begavelsen til noen overlegen eller noen høgere form for hukommelse. Men en matematisk hukommelse er sterkt selektiv og knytta til den generaliserte problemstillinga som studeres. En studie av ti begavede studenter 208 gir likevel langt mer varierende svar: Noen lærer best gjennom en verbal tilnærmelse, noen gjennom visualiseringer og noen svarer at det varierer med situasjonen og læringsstoffet. Noen lærer best gjennom individuelle studier, noen best av sosiale settinger, noen diskuterer stoffet best med seg sjøl og noen liker kombinasjoner av ulike metoder. Og noen begavede studenter synes det er hardt å tilpasse seg ukjente undervisningsmetoder sjøl om de faktisk klarer å tilpasse seg. Trass i at det fins grunnleggende likheter hos de vellykka matematikkstudentene når det gjelder behandling av ei problemstilling, er behovene når det gjelder læringsmiljø svært forskjellige. Det er rimelig å trekke konklusjonen at det kan fins viktige mentale forskjeller og ingen fellesnevner hos personer som er ”født matematikere”. 209 Den noe banale konklusjonen blir derved: Det fins ikke noe godt svar på hvordan den matematiske hjernen arbeider. Det fins i stedet mange ulike metoder som kan beskrives enkeltvis. Likevel: Det kan se ut som om matematisk forståelse best beskrives som ei utvikling eller læreprosess i flere trinn, uansett hvilken enkeltmetode som benyttes på hvert 204 Polya 45, side xxxvi – xxxvii og side 5 – 23 205 Mason 82, side 18 206 ibid. side 20 207 Krutetskii 76, side 227 – 228 208 Dahl 04b 209 Hadamard 45, side 11 55
Page 1 and 2:
Skoleelever, matematikk og den hell
Page 3 and 4: Sammendrag Denne teksten var opprin
Page 5 and 6: Kanskje vi må tilbake til bare tav
Page 7 and 8: Hvordan jeg blev så flink Om kunns
Page 9 and 10: Erasmus’ bror er den kloke odelsg
Page 11 and 12: Norsk skoledebatt - en parodi? Om s
Page 13 and 14: videregående skole fra 1994, den s
Page 15 and 16: Testing… Presentasjon av TIMSS, p
Page 17 and 18: I TIMSS 2003 ble bare de to første
Page 19 and 20: Matematisk kompetanse: Evne til å
Page 21 and 22: Forutsetninger og generelle resulta
Page 23 and 24: fra en norsk elev 49 som nylig har
Page 25 and 26: ønske om å ta konsekvensene av de
Page 27 and 28: Holdninger 73 Det er naturligvis va
Page 29 and 30: har ingen sammenheng med skoleprest
Page 31 and 32: land fungerer metodene som gode og
Page 33 and 34: Det blir generelt sett stilt lite k
Page 35 and 36: ikke absolutte. Og relativt sett ka
Page 37 and 38: Bakgrunnsmateriale Historier Gode,
Page 39 and 40: Blaise Pascal 134 var født i 1623
Page 41 and 42: eviste i ettertid at de fleste stem
Page 43 and 44: David Kunszenti-Kovacs 157 (1984 -
Page 45 and 46: Begavete studenter Om begavete stud
Page 47 and 48: • Og undervisning som griper tak
Page 49 and 50: En psykologisk undersøkelse 182 fr
Page 51 and 52: arbeide videre med matematikk oppga
Page 53: olympiadens ultimate slagord: Det v
Page 57 and 58: det operasjonelle. Vi kunne kalle d
Page 59 and 60: TIMSS og videostudier av undervisni
Page 61 and 62: En undervisningstime i Japan er næ
Page 63 and 64: ulike problemtyper og formulere ell
Page 65 and 66: Hva er egentlig realfaglig kompetan
Page 67 and 68: studenter, til og med i realfaglige
Page 69 and 70: debatten er forholdet mellom viten
Page 71 and 72: metafysikk - og matematikk. Derved
Page 73 and 74: verket er aha-opplevelsen der det h
Page 75 and 76: utfyller bildet: Spørsmålet om an
Page 77 and 78: Bakgrunnsfaktorer Om bakgrunnsfakto
Page 79 and 80: Det fins et godt eksempel på matem
Page 81 and 82: substans” som den kvinnelige. Og
Page 83 and 84: lærertetthet og lærertyper og und
Page 85 and 86: elever foretrekker oppskriftsunderv
Page 87 and 88: matematikkoppgaver på et visst niv
Page 89 and 90: statikk. Fra Sveits kjenner vi Bern
Page 91 and 92: være, gjør at viktige synspunkter
Page 93 and 94: synspunktet. Men de som har villet
Page 95 and 96: ombastiske slutninger. Men det kan
Page 97 and 98: Et annet aspekt ved matematikkfaget
Page 99 and 100: av at motivasjon gjennom blant anne
Page 101 and 102: mye som tyder på at naturfagene re
Page 103 and 104: Suksess 381 Etter denne lange - og
Page 105 and 106:
Tabell 3: TIMSS 2003 - Hjemmet Alle
Page 107 and 108:
de bruker mer tid på å forklare s
Page 109 and 110:
Tabell 4: TIMSS 2003 - Lekser Lekse
Page 111 and 112:
A n t a l l 700 600 500 400 300 200
Page 113 and 114:
mor og far har høgskole/universite
Page 115 and 116:
arbeider med matematikk, kontroller
Page 117 and 118:
standardavvik over snittet. De høg
Page 119 and 120:
Vi ser dessuten at det er overvekt
Page 121 and 122:
Blant utvalget var det påfallende
Page 123 and 124:
Funnene er tilsvarende for far: P r
Page 125 and 126:
P r o s e n t 35,0 30,0 25,0 20,0 1
Page 127 and 128:
datamaskin til å gjøre skolearbei
Page 129 and 130:
Ser vi igjen på snittet, ligger el
Page 131 and 132:
Vi ser 423 - som vi har nevnt tidli
Page 133 and 134:
Den spesielle grunnskolen velges ik
Page 135 and 136:
Tendensene er ikke så klare i forb
Page 137 and 138:
Igjen ser vi en grei sammenheng, og
Page 139 and 140:
søvne (31,6 %). 90,0 % pugger en d
Page 141 and 142:
Den sosiale sida, i alle fall i for
Page 143 and 144:
sine meninger 433 , der svaralterna
Page 145 and 146:
• Forandring og sammenheng: Matem
Page 147 and 148:
Ei oppsummering 448 Vi skal nå for
Page 149 and 150:
virksomhetsområder.” 453 Og det
Page 151 and 152:
undersøkelsen. De har planer om la
Page 153 and 154:
Vi ser at korrelasjonen mellom utda
Page 155 and 156:
en klar egenverdi blant dem som lyk
Page 157 and 158:
Det er vanskelig å se noe opprør
Page 159 and 160:
Jeg skal ikke strekke resultatene f
Page 161 and 162:
• Undersøkelsene sier ikke noe o
Page 163 and 164:
Et felles løft for realfagene Løs
Page 165 and 166:
Epilog Likevel, ei optimistisk slut
Page 167 and 168:
[Brousseau 97] G. Brousseau: Theory
Page 169 and 170:
[Hoel 31] Sigurd Hoel: Veien til ve
Page 171 and 172:
[Morgenbladet 06] Pengene snakker (
Page 173:
[Turnbull Server: Galois] http://ww
show all

Jakten på den hellige gral - Matematikk på nett - Nordreisa ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?