Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

1.2. Definicja ciągu i jego granicy 13
przypadku n 0 może być dowolną liczbą całkowitą. Chodzi jedynie o to, by były
prawdziwe równości a n+1 = a n +d lub – w przypadku ciągu geometrycznego –
a n+1 = a n·q dla wszystkich liczb całkowitych n ≥ n 0 . Zazwyczaj jednak numerację
będziemy rozpoczynać od 0 lub od 1. Jeśli nie zaznaczymy tego wyraźnie,
symbol n oznaczać będzie liczbę całkowitą nieujemną, czyli naturalną 2 .
Przejdziemy teraz do zdefiniowania granicy ciągu – pojęcia zasygnalizowanego
przy okazji omawiania paradoksu Zenona.
DEFINICJA 1.2 (granicy ciągu).
1. Liczba g nazywana jest granicą ciągu (a n ) wtedy i tylko wtedy, gdy
dla dowolnej liczby dodatniej ε > 0 istnieje taka liczba całkowita n ε , że jeśli
n > n ε , to |a n − g| < ε.
2. +∞ (czytaj: plus nieskończoność) jest granicą ciągu (a n ) wtedy i tylko
wtedy, gdy dla każdej liczby rzeczywistej M istnieje taka liczba całkowita n M ,
że jeśli n > n M , to a n > M.
3. −∞ (czytaj: minus nieskończoność) jest granicą ciągu (a n ) wtedy i tylko
wtedy, gdy dla każdej liczby rzeczywistej M istnieje taka liczba całkowita n M ,
że jeśli n > n M , to a n < M.
4. Jeśli g jest granicą ciągu (a n ), skończoną lub nie, to piszemy g = lim a n n→∞
lub a n −−−−→ g. Można też pisać a n → g , gdy n → ∞ lub krótko a n → g.
n→∞
Mówimy, że ciąg jest zbieżny, jeśli jego granica jest skończona.
Rysunek 1.1. Granica ciągu i jego wyrazy, m, n – „duże”
Skomentujemy po pierwsze część 1. definicji. Chodzi tam o to, że wyrazy
ciągu, których numery są dostatecznie duże (n > n ε ) przybliżają granicę
g z dopuszczalną dokładnością (|a n − g| < ε). Stwierdzimy tu wyraźnie, że
przejście do następnego wyrazu nie musi zwiększyć dokładności przybliżenia,
przeciwnie, chwilowo może się ta dokładność zmniejszyć i dopiero dostatecznie
duży wzrost numeru wyrazu zwiększy dokładność przybliżenia (jeśli ciąg
jest stały, np. a n = 33 dla każdej liczby naturalnej n, to błąd jest zerowy
zawsze, niezależnie od numeru wyrazu, więc dokładność nie może być poprawiona).
2 Część matematyków uważa, że liczby naturalne to 1, 2, ... Inni uważają, że zaczynać należy od 0.
W momencie pisania tego tekstu autor przychylił się do tej drugiej koncepcji: liczby naturalne służą
przede wszystkim do ustalania liczby elementów danego zbioru skończonego, ponieważ rozważamy
niejednokrotnie zbiór pusty, więc liczbę 0 uważać będziemy za naturalną.