Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

2.1. Szereg i szereg zbieżny 69
= 1
, a jeszcze poprzedni, czyli pierwszy w grupie, równy jest 1
. Mamy
4m−1 4m−3
1
+ 1 − 1 = 1 − 1 + 1 − 1 = 1
+ 3
. Wobec tego:
4n−1 4n−3 2n 4n−1 4n 4n−3 4n 4n(4n−1) 4n(4n−3)
1
4n 2 = 1 + 3
4n · 4n < 1
4n(4n − 1) + 3
4n(4n − 3) < 1 + 3
4n · n = 1 n 2
– korzystaliśmy z tego, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej n zachodzą
nierówności podwójne 4n > 4n − 1 ≥ 3n > n i 4n > 4n − 3 ≥ n. Oznaczamy
sumę n pierwszych wyrazów drugiego szeregu przez s ′′ n. Mamy oczywiście:
0 <
<
1
4(n + 1) < 2 s′′ 3(n+1) − s′′ 3n = 1
4(n + 1) − 3 + 1
4(n + 1) − 1 − 1
2(n + 1) <
1
(n + 1) 2.
Wynika stąd, że ciąg (s ′′
3n ) jest ściśle rosnący i dodatkowo:
s ′′
3n < 1 1 2 + 1 2 2 + · · · + 1 n 2 < 1 + 1
1 · 2 + 1
2 · 3 + · · · 1
(n − 1) · n =
= 1 + 1 1 − 1 2 + 1 2 − 1 3 + · · · + 1
n − 1 − 1 n = 2 − 1 n < 2.
Wynika stąd, że ciąg (s ′′
3n ) jest ściśle rosnący i ograniczony, więc ma granicę
skończoną. Jest ona większa niż 1 + 1 − 1 = 5 i mniejsza niż 2. Ponie-
3 2 6
waż s ′′
( ) (
s
′′
3n+1 i s
′′
3n+1 − s′′ 3n = 1 −−−→ 4n+1 n→∞
0 oraz s′′
3n+2 − s′′ 3n+1 = 1 −−−→ 4n+3 n→∞
0, więc ciągi
)
3n+2 mają granice i to takie same jak ciąg (s
′′
3n ) . Stąd bezpośrednio
wynika, że ciąg (s ′′ n) jest zbieżny do tej wspólnej granicy swych trzech
podciągów, które zawierają wszystkie jego wyrazy. Wykazaliśmy więc, że drugi
szereg jest zbieżny. Porównamy teraz sumy obu szeregów. Niech:
s ′ = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + ... ,
s ′′ = 1 + 1 3 − 1 2 + 1 5 + 1 7 − 1 4 + ... .
Zachodzą wzory s ′ = lim s ′ 2n oraz s′′ = lim s ′′
3n . Zauważmy, że:
n→∞ n→∞
1
4n − 3 + 1
4n − 1 − 1 ( 1
2n − 2n − 1 − 1 )
=
2n
= 1
4n − 3 + 1
4n − 1 − 1
2n − 1 = 1
4n − 3 − 1
4n − 2 + 1
4n − 1 − 1
4n − 2 =
1
=
(4n − 3)(4n − 2) − 1
(4n − 1)(4n − 2) = 2
(4n − 3)(4n − 2)(4n − 1) > 0.