Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

2.5. Szeregi o wyrazach dowolnych 87
do szeregu ∞ ∑
n=0
|x| 2n+1
(2n+1)! . Mamy:
( ) |x|
2(n+1)+1 / ( ) |x|
2n+1
=
((2n + 1) + 1)! (2n + 1)!
x 2
(2n + 2)(2n + 3) −−−−→
n→∞ 0 < 1,
∑
więc szereg ∞ x 2n+1
jest zbieżny bezwzględnie.
(2n+1)!
n=0
∑
Niech c(x) = ∞ x 2n x2
= 1− + x4
− x6
+... . W dokładnie taki sam sposób
(2n)! 2! 4! 6!
n=0
pokazać można, że dla każdej liczby rzeczywistej x szereg ten jest zbieżny
bezwzględnie.
Wykażemy teraz, że dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi wzór c(2x) =
= 1 − 2(s(x)) 2 . Możemy oczywiście skorzystać z twierdzenia Cauchy’ego
o mnożeniu szeregów. Zanim to zrobimy, przypomnijmy, że ( (
n
0)
+
n
) 2)
+
+ · · · = 2 n−1 oraz ( n
1)
+
( n
3)
+
( n
5)
+ · · · = 2 n−1 dla każdej liczby na-
+ ( n
4
turalnej n 3 . Mamy więc:
)
(x − x3
3! + x5
5! − x7
7! + ... ·
(x − x3
3! + x5
= x 2 − x 4 ( 1
1!3! + 1
3!1!
)
5! − x7
7! + ... =
) ( 1
+ x 6 1!5! + 1
3!3! + 1
5!1!
( 1
− x 8 1!7! + 1
3!5! + 1
5!3! + 1 )
+ · · · =
7!1!
(
= x 2 − x4 4!
4! 1!3! + 4! ) (
+ x6 6!
3!1! 6! 1!5! + 6!
3!3! + 6!
5!1!
− x8
8!
( 8!
1!7! + 8!
3!5! + 8!
5!3! + 8!
7!1!
)
+ · · · =
)
−
)
−
= x 2 − x4
4! · 24−1 + x6
6! · 26−1 − x8
8! · 28−1 + · · · =
= 1 ( )
(2x)
2
− (2x)4 + (2x)6 − (2x)8 + ... = 1 (1 − c(2x)) .
2 2! 4! 6! 8! 2
Udało się więc wykazać obiecany wzór.
Później udowodnimy, że:
∞
sin x = x − x3
3! + x5
5! − x7
7! + · · · = ∑
(−1) n x 2n+1
(2n + 1)! = s(x)
3 0 = (1−1) n = ( n (
0) − n (
1) + n (
2) − n (
3) +. . . , więc sumy n (
0) + n (
2) + n (
4) +. . . i n (
1) + n (
3) + n
5) +. . .
są równe. 2 n = (1 + 1) n = ( n (
0) + n (
1) + n
2) + . . . , wobec tego suma tych sum jest równa 2 n .
n=0