Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

3.5. Funkcje ciągłe 119
Powyższe twierdzenie nie oznacza, że umiemy znajdować pierwiastki takiego
wielomianu w sposób podobny do stosowanego w szkołach dla wielomianów
kwadratowych. W XVI w. znaleziono wzory na pierwiastki wielomianów stopnia
trzeciego i czwartego, są one znacznie bardziej skomplikowane od wzorów
na pierwiastki równania kwadratowego. Na początku wieku XIX udowodniono
(Ruffini, Abel, Galois), że nie istnieją wzory na pierwiastki równań stopnia piątego
i wyższego. Jest to wynik negatywny, teoretyczny, ale metody rozwinięte
dla jego osiągnięcia znalazły znacznie później zastosowania w fizyce i chemii.
Z punktu widzenia tego wykładu nie ma to większego znaczenia. Mówimy
o tym jedynie po to, by uświadomić czytelnikom, że w wielu przypadkach wypisywanie
dokładnych wzorów jest niemożliwe. Czasem jest możliwe, ale mało
sensowne, gdyż wzory są tak zawiłe, że ich wypisanie niewiele daje, natomiast
można używać wzorów przybliżonych, które w wielu przypadkach dają wystarczające
rezultaty.
Następne twierdzenie okaże się bardzo przydatne do znajdowania najmniejszych
i największych wartości funkcji. Szczególnie duże znaczenie mieć ono
będzie w przypadku funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Będziemy je stosować
w przypadku funkcji jednej zmiennej rzeczywistej między innymi po
to, by później, w przypadku większej liczby zmiennych, łatwiej można było
prześledzić rozumowania wykorzystujące pozornie całkowicie abstrakcyjne
twierdzenia.
TWIERDZENIE 3.22 (Weierstrassa o przyjmowaniu kresów). Załóżmy, że
funkcja f jest ciągła w każdym punkcie przedziału domkniętego [a,b]. Wtedy
w przedziale [a,b] znajdują się takie punkty p, q, że dla każdego punktu x
z tego przedziału zachodzi nierówność f(p) ≤ f(x) ≤ f(q), tzn. f(p) jest
najmniejszą wartością funkcji f na przedziale [a,b], zaś f(q) jest największą
wartością funkcji f.
Dowód. Niech M będzie kresem górnym funkcji f na przedziale [a,b]. Istnieje
taki ciąg (x n ) punktów przedziału [a,b], że lim f(x n ) = M. Z twierdzenia
n→∞
Bolzano–Weierstrassa wynika, że z ciągu (x n ) można wybrać podciąg zbieżny
(x kn ). Niech q = lim x kn . Ponieważ dla każdej liczby naturalnej n zachodzi
n→∞
nierówność a ≤ x kn ≤ b, więc w granicy otrzymujemy a ≤ q ≤ b. Funkcja f
jest ciągła w każdym punkcie przedziału [a,b], w szczególności w punkcie q.
Wynika stąd, że f(q) = lim f(x kn ) = lim f(x n ) = M. Wykazaliśmy, więc że
n→∞ n→∞
supf = M = f(q), co oznacza, że f(q) jest największą wartością funkcji f
na przedziale [a,b]. Istnienie punktu, w którym funkcja f przyjmuje swą najmniejszą
wartość, wnioskujemy, stosując twierdzenie o wartości największej do
funkcji −f. Dowód został zakończony.
Następne twierdzenie poprzedzimy dwiema definicjami.