Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

88 2. Szeregi nieskończone
i analogicznie:
∞
cos x = 1 − x2
2! + x4
4! − x6
6! + · · · = ∑
n=0
(−1) n x2n
(2n)! = c(x).
Wzór udowodniony w ostatnim przykładzie, to po prostu cos(2x) = 1−2sin 2 x.
n=0
Przykład 2.10. Niech x oznacza dowolną liczbę rzeczywistą. Udowodnimy teraz
bezpośrednio, że szereg ∞ x n
jest bezwzględnie zbieżny – zostało to już wy-
∑
n!
kazane w poprzednim rozdziale, w końcu podrozdziału 1.9 4 . Nie mniej jednak
autorowi wydaje się, że jest bardzo pożytecznym wykazanie tego raz jeszcze
bezpośrednio i nieco prościej niż poprzednio. Tak jak w poprzednim przykładzie
zastosujemy kryterium ilorazowe d’Alemberta do szeregu ∞ ∣
∣ w
∑
przy-
∣ xn
n!
n=0
padku x ≠ 0. W przypadku x = 0 nasz szereg ma wyrazy nieujemne: 1+0+0+
+ 0 + ..., więc jest zbieżny bezwzględnie. Zachodzi wzór (∣ ∣ x n+1
∣ )/ (∣ ∣ x n
∣ ) =
(n+1)! n!
= |x| −−−→ 0 < 1, zatem szereg ∑ ∞ ∣ x n
∣
n+1 n→∞
n! jest zbieżny dla każdego x ≠ 0,
n=0
∑
co oznacza, że szereg ∞ x n
jest zbieżny bezwzględnie. W podrozdziale 1.9
n!
n=0
∑
udowodniliśmy, że suma szeregu ∞ x n
jest równa e x = exp(x). Stąd wynika
n!
n=0
oczywiście, że:
∞∑ x n ∞∑
n! · y n ∞
n! = ∑(x + y) n
. (2.1)
n!
n=0
n=0
Dowód podany w poprzednim rozdziale był jednak długawy. Równość (2.1),
równoważną następującej e x+y = e x e y , wykażemy teraz za pomocą twierdzenia
Cauchy’ego o mnożeniu szeregów. Mamy:
(1 + x )
1! + x2
2! + x3
3! + ... ·
(1 + y )
1! + y2
2! + y3
3! + ... =
= 1 +
= 1 + x + y
1!
( x
1! + y 1!)
+
+
( x
2
(x + y)2
2!
2! + x 1! · y
1! + y2
2!
+
(x + y)3
3!
n=0
)
+
+ ....
( x
3
3! + x2
2! · y
1! + x 1! · y2
2! + y3
3!
)
=
Wypada stwierdzić, że w licznych podręcznikach liczba e x jest definiowana jako
∑
suma szeregu nieskończonego ∞ x n
. Postąpiliśmy inaczej głównie ze względu
n!
n=0
4 Formalnie wykazano tam jedynie zbieżność, a nie zbieżność bezwzględną. Zbieżność bezwzględna
jest konsekwencją zbieżności szeregu dla dodatnich x.