Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

1.9. Funkcja wykładnicza exp(x), liczba e 47
2,000000000; 2,500000000; 2,666666667; 2,708333333; 2,716666667;
2,718055556; 2,718253968; 2,718278770; 2,718281526; 2,718281801.
W tym przypadku już w czwartym wyrazie pojawiła się na pierwszym
miejscu po przecinku cyfra 7, w wyrazie dziesiątym na pierwszych siedmiu
miejscach po przecinku występują właściwe cyfry – dopiero na ósmym miejscu
pojawia się 0 zamiast 2. Jest to dosyć duża dokładność osiągnięta stosunkowo
małym kosztem. Wykażemy poniżej, że to nie jest przypadek, że rozpatrywany
ciąg jest rzeczywiście „szybko” zbieżny do liczby e.
Mamy:
(
e − 1 + 1 1! + 1 2! + · · · + 1 )
=
k!
(
)
1
= lim
n→∞ (k + 1)! + 1
(k + 2)! + 1
(k + 3)! + · · · + 1
.
(k + n)!
Dla n ≥ 2 zachodzi nierówność:
1
(k + 1)! + 1
(k + 2)! + 1
(k + 3)! + · · · + 1
(k + n)! ≤
≤
1
(k + 1)! + 1
(k + 2)(k + 1)! + 1
(k + 2) 2 (k + 1)! + · · · +
+
1
(k + 2) n−1 (k + 1)!
1
=
(k + 1)! · 1 − 1
1 − 1
(k+2) n
k+2
suma ciągu
============
geometrycznego
<
1
(k + 1)! · 1
1 − 1
k+2
= k + 2
k!(k + 1) 2 = k + 2
k![k(k + 2) + 1] < 1
k · k! .
=
k + 2
(k + 1)! · (k + 1) =
Skorzystaliśmy tu z oczywistych nierówności: k +3 ≥ k +2, k +4 ≥ k +2,
..., k+n ≥ k+2. Wykazaliśmy więc, że k-ty wyraz ciągu ( 1+ 1 + 1 +· · ·+ )
1
1! 2! n!
1
przybliża liczbę e z błędem mniejszym niż , a więc bardzo małym nawet
k·k!
wtedy, gdy k jest niezbyt duże.
Zasugerowaliśmy poprzednio, że ciąg ( 1 + n) 1 n
przybliża liczbę e raczej słabo
– był to eksperyment przeprowadzony na pierwszych dziesięciu wyrazach
ciągu. Wykażemy teraz, że to nie był przypadek. Zastosujemy twierdzenie Stolza,
by wykazać, że granica lim
e−(1+ n) 1 n
jest równa liczbie e . Oznaczać to
n→∞ 1/n 2
będzie, że różnica e − ( 1 + n) 1 n
jest mniej więcej równa ilorazowi tej granicy
e
i liczby n, czyli > 1. Wyniknie stąd, że przybliżenie e ≈ ( 1 + 1 n
2n n n)
jest mało
precyzyjne, gdyż w celu uzyskania dobrej dokładności trzeba będzie rozpatry-