Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

4.2. Badanie funkcji za pomocą pochodnych, ekstrema i monotoniczność 157
Przykład 4.19. Wykażemy, że jeśli x > 0, to ln(1 + x) > x
1+x
= ln(1 + x) − x
1+x . Prawdziwe są wzory f ′ (x) = 1
1+x − 1+x−x
(1+x) 2 =
. Niech f(x) =
x > 0.
(1+x) 2
Wobec tego funkcja f jest ściśle rosnąca na półprostej [0, ∞). Ponieważ f(0) =
0, więc dla x > 0 mamy f(x) > 0.
Przykład 4.20. Wspomnieliśmy w przykładzie 4.17 nierówność sin x < x,
która jest prawdziwa dla x > 0. Pochodną funkcji sinus jest funkcja kosinus.
W punkcie 0 wartość pochodnej to cos 0 = 1. Wynika stąd, że równanie stycznej
do wykresu funkcji sinus w punkcie (0,0) przybiera postać y = 1 · (x − 0) +
+ sin0 = x. Wobec tego nierówność x > sin x oznacza, że na półprostej (0, ∞)
wykres funkcji sinus znajduje się pod styczną do tegoż wykresu w punkcie
(0,0). Przekonamy się później, że jest to związane z wklęsłością funkcji sinus
na przedziale [0,π], dla x ≥ π nierówność zachodzi, gdyż wartości funkcji sinus
są mniejsze niż 1 < π.
Przykład 4.21. Niech f(x) = e x −(1+x+ 1 2 x2 ). Mamy f ′ (x) = e x −(1+x) ≥ 0,
więc (f ′ ) ′ (x) = e x − 1 > 0, dla x > 0 oraz (f ′ ) ′ (x) = e x − 1 < 0 dla x < 0.
Wynika stąd, że funkcja f ′ jest ściśle rosnąca na półprostej [0, ∞) oraz ściśle
malejąca na półprostej (− ∞,0]. Wobec tego najmniejszą wartością funkcji f ′
jest f ′ (0) = e 0 −1 = 0. Oznacza to, że dla x ≠ 0 zachodzi nierówność f ′ (x) > 0,
czyli e x > 1 + x. Wobec tego, że funkcja f ′ przyjmuje wartości dodatnie na
całej prostej z wyjątkiem jednego punktu, funkcja f jest ściśle rosnąca na całej
prostej. Mamy więc:
f(x) > f(0) = e 0 −
(1 + 0 + 1 )
2 02 = 0 dla x > 0 oraz
f(x) < f(0) = 0 dla x < 0,
zatem dla x > 0 zachodzi nierówność e x > 1 + x + 1 2 x2 , zaś dla x < 0 – nierówność
e x < 1 + x + 1 2 x2 . Rozumując w ten sam sposób, można wykazać, że
dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność e x ≥ 1 + x + 1 2! x2 + 1 3! x3 ,
przy czym jest ona ostra dla x ≠ 0. Uogólnienie pozostawiamy czytelnikom
w charakterze prostego ćwiczenia. Zachęcamy też do porównania z rozumowaniami
przeprowadzanymi w rozdziale pierwszym: bez trudu można zauważyć,
że uzyskujemy teraz z łatwością nierówności, których wykazanie bez użycia
pochodnych było dosyć trudne.
Przykład 4.22. Ten przykład będzie nieco dłuższy. Należy go przestudiować
z uwagą. Dotyczy to również tych studentów, którzy wynieśli ze szkoły sporą
wiedzę matematyczną, bowiem stosowana tu metoda będzie używana później
również w odniesieniu do funkcji wielu zmiennych, a w większości szkół nie
jest stosowana.