Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

3.6. Funkcje wypukłe 125
lub na jej wykresie. Funkcja jest ściśle wypukła, jeśli wszystkie punkty wewnętrzne
odcinka łączącego dwa punkty wykresu leżą nad wykresem funkcji.
Jest tak dlatego, że w przypadku 0 < t < 1, x < y zachodzi nierówność
x ( < tx + (1 − t)y < y. W przykładzie ) pierwszym pokazaliśmy, że punkt
tx + (1 − t)y, tf(x) + (1 − t)f(y) leży na wykresie funkcji liniowej, który
to wykres przechodzi przez punkty ( x,f(x) ) oraz ( y,f(y) ) , współczynnik
kierunkowy tej funkcji to a = f(y)−f(x) , wyraz wolny to b = f(x) − ax =
y−x
= f(x) − x f(y)−f(x) .
y−x
Nierówność występująca w definicji funkcji wypukłej:
f ( tx + (1 − t)y ) ≤ tf(x) + (1 − t)f(y)
to po prostu stwierdzenie, że punkt ( tx + (1 − t)y,f (tx + (1 − t)y) ) znajduje
się pod punktem ( tx + (1 − t)y,tf(x) + (1 − t)f(y) ) . Oznacza to, że funkcja
jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór punktów znajdujących się nad jej
wykresem jest wypukły.
Rysunek 3.2. Wypukłość
Na rysunku 3.2 znajduje się wykres funkcji 1 2 x2 , trzy cięciwy (tzn. odcinki
łączące dwa punkty wykresu) oraz prosta styczna do wykresu w punkcie (1, 1 2 ).
Widać, że cięciwy leżą nad wykresem tej funkcji, natomiast styczna – pod.
O stycznych będzie mowa w następnym rozdziale.