Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

104 3. Funkcje ciągłe
Rysunek 3.1. Funkcja bez granicy
Rysunek 3.1 przedstawia wykres badanej funkcji na przedziale [ 3 ,1], można
20
więc również zobaczyć, dlaczego nie ma granicy.
Oprócz granicy funkcji rozpatrywane są granice jednostronne funkcji
w punkcie. Zdefiniujemy granicę lewostronną, definicja granicy prawostronnej
jest analogiczna.
DEFINICJA 3.5 (granicy lewostronnej). g jest granicą lewostronną funkcji
f w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy można znaleźć w dziedzinie ciąg (x n )
o wyrazach mniejszych (ściśle!) niż p, zbieżny do p i gdy dla każdego takiego
ciągu odpowiadający mu ciąg wartości (f(x n )) ma granicę g. Stosujemy
oznaczenie lim
x→p − f(x).
Łatwo można udowodnić, że funkcja 1 ma jednostronne granice w punkcie
x
0: prawostronna jest równa + ∞, zaś lewostronną jest − ∞. Funkcja sin 1 nie x
ma granicy prawostronnej w punkcie 0 – wykazaliśmy to w przykładzie 3.6,
wskazując takie dwa ciągi dodatnich argumentów tej funkcji zbieżne do 0, że
odpowiadające im ciągi wartości mają różne granice.
Bez trudu można udowodnić „funkcyjną” wersję twierdzenia o scalaniu.
TWIERDZENIE 3.6 (o scalaniu). Funkcja f, określona na zbiorze zawierającym
ciąg liczb mniejszych niż p zbieżny do p oraz ciąg liczb większych
niż p zbieżny do p, ma granicę w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy ma obie
granice jednostronne i są one równe.
Dowód. Jest jasne, że z istnienia granicy wynika istnienie granic jednostronnych
– zamiast wszystkich ciągów zbieżnych do p, których wyrazy są