Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

32 1. Ciągi nieskończone
większą z liczb n > n ′ , n > M/2 n′′ M/2
. Wtedy zachodzą obie nierówności i wobec
tego a n + b n > M + M = M, więc dla dostatecznie dużych liczb naturalnych
2 2
n zachodzi nierówność a n + b n > M, a to oznacza, że lim (a n + b n ) = + ∞
n→∞
Dowód został zakończony.
Z uwagi o zbieżności ciągu przeciwnego i tw. 1.10.1 (o granicy sumy) wynika
od razu twierdzenie o granicy różnicy (tw. 1.10.2).
Zajmiemy się teraz iloczynem. Tak jak poprzednio jest wiele przypadków,
których liczbę można zredukować, stosując uwagę o zbieżności ciągu przeciwnego,
do następujących: obie granice są skończone, obie granice są równe +∞,
jedna granica jest dodatnią liczbą rzeczywistą, a druga jest nieskończona, np.
+∞.
Rozpoczniemy od rozpatrzenia granicy iloczynu dwóch ciągów mających
skończone granice. Z twierdzenia o szacowaniu wynika, że każdy z tych ciągów
jest ograniczony, więc istnieje taka liczba K ′ > 0, że |a n | ≤ K ′ , i istnieje też
taka liczba K ′′ , że |b n | < K ′′ dla każdej liczby naturalnej n. Przyjmując, że
K to większa z liczb K ′ , K ′′ , znajdujemy liczbę, której nie przekracza wartość
bezwzględna żadnego wyrazu któregokolwiek z dwóch rozpatrywanych ciągów:
|a n |, |b n | ≤ K. Niech g a = lim a n , g b = lim b n . Z twierdzenia o szacowaniu
n→∞ n→∞
wnioskujemy, że również |g a |, |g b | ≤ K. Niech ε oznacza dowolną liczbę dodatnią.
Istnieje wtedy taka liczba naturalna n ε , że jeśli n > n ε , to |a n − g a | < ε
2K
i jednocześnie |b n − g b | < ε . Wtedy:
2K
|a n b n − g a g b | = |(a n − g a )b n + g a (b n − g b )| ≤
≤ |a n − g a | · |b n | + |g a | · |b n − g b | < ε
2K · K + K · ε
2K = ε.
Udowodniliśmy więc, że dla dostatecznie dużych n odległość ( liczby ) a n b n
od liczby g a g b jest mniejsza niż ε, co oznacza, że g a g b = lim an · b n , a to
n→∞
właśnie było naszym celem.
Teraz zajmiemy się granicą iloczynu ciągów, z których jeden ma granicę
skończoną dodatnią, a drugi – granicę + ∞. Niech g a = lim a n będzie
n→∞
liczbą dodatnią i niech + ∞ = lim b n . Niech M będzie dowolną liczbą rzeczywistą.
Z twierdzenia o szacowaniu wynika, że istnieje taka liczba natu-
n→∞
ralna n M , że jeżeli n > n M , to a n > 1g 2 a > 0 i b n > 2|M|
g a
> 0. Wtedy
a n b n > 1g 2 a 2|M|
g a
= |M| ≥ M. Dowód w tym przypadku został zakończony.
Rozpatrzymy teraz iloczyn dwóch ciągów (a n ) i (b n ), zakładając, że spełniona
jest równość lim a n = + ∞ = lim b n . Jeśli M jest dowolną liczbą rzeczywistą,
to istnieje taka liczba naturalna n M , że dla n > n M zachodzą
n→∞ n→∞
nierówności a n > 1 + |M| i b M > 1 + |M|. Wtedy dla n > n M mamy
a n b n > (1+|M|) 2 > 2·|M| ≥ |M| ≥ M, co dowodzi równości + ∞ = lim a n b n .
n→∞
Twierdzenie o granicy iloczynu ciągów zostało w ten sposób udowodnione.