Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

1.9. Funkcja wykładnicza exp(x), liczba e 43
LEMAT 1.40 (ważna granica 9 ). Jeśli ciąg h n ≠ 0 dla każdego n i lim h n = 0,
n→∞
to:
exp(x + h n ) − exp(x)
lim
= exp(x).
n→∞ h n
exp(h
Dowód. Wystarczy wykazać, że lim n)−1
n→∞ h n
= 1, gdyż zachodzi następująca
równość exp(x+hn)−exp(x)
h n
= exp(x) · exp(hn)−1
h n
. Załóżmy, że 0 ≠ h < 1.
2
Stąd wynika, że 0 < 1
exp(h)−1
< 2. Mamy
1−h h
≥ exp(h) ≥ 1 + h wynika natychmiast, że:
1
1−h
− 1 = exp(h)−1−h
h
0 ≤ exp(h) − 1 − h ≤ 1
1 − h − 1 − h = h2
1 − h = |h|
1 − h · |h|.
. Z nierówności
Po podzieleniu tej nierówności stronami przez |h| otrzymujemy:
∣ 0 ≤
exp(h) − 1
∣∣∣
∣
− 1
h ∣ = exp(h) − 1 − h
h ∣ ≤ 1 · |h| < 2|h|. (1.2)
1 − h
Z tej nierówności i z twierdzenia o trzech ciągach dowodzona teza wynika
natychmiast.
Uwaga 1.41 (o szacowaniu i szukaniu przybliżeń dziesiętnych liczby e). Wiemy
już dosyć dużo o funkcji wykładniczej o podstawie e. Nadszedł czas na
pewne wyjaśnienia. Wiemy mianowicie, że ciąg ( 1 + n) x n
ma granicę e x =
= exp(x). Powstaje naturalne pytanie: jak duże n należy rozpatrywać, by
różnica między wyrazem tego ciągu i jego granicą była mała? To czy odcinek
długości np. jednego metra jest krótki, czy też długi, zależy od tego, co mierzymy.
Jeśli chcemy znaleźć wymiary stołu, na którym stoi urządzenie, za pomocą
którego autor przelewa swe myśli na twardy dysk, a potem na papier, to błąd
rzędu 1 m jest błędem ogromnym, bo długość tego stołu jest równa 182 cm.
Jeśli chcemy znaleźć odległość między dwoma miastami, np. Warszawą i Krakowem,
to pomiar z dokładnością do 1 m jest zbyt dokładny, bo trudno jest
tę odległość tak precyzyjnie zdefiniować!
To, co nas w rzeczywistości interesuje, to błędy względne. Nierówność (1.2)
możemy interpretować w następujący sposób. Zajmujemy się wzorem przybliżonym
e h = exp(h) ≈ 1 + h. Interesuje nas, kiedy błąd, jaki popełniamy przy
takim przybliżeniu, jest „mały” w porównaniu z h. Jeśli np. |h| < 1 , to 200
błąd względny, czyli iloraz błędu bezwzględnego (= e h − 1 − h) przez h jest
mniejszy niż 1 , czyli jest mniejszy niż 1%. Jeśli natomiast |h| < 1, to nierówność
(1.2) pozwala no oszacowanie błędu względnego z góry przez 200%,
100
co oczywiście nic nie daje, na domiar złego nie wiemy, na ile dokładne jest
9 Obliczamy tu pochodną funkcji wykładniczej, definicja będzie później!