Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

4.1. Podstawowe pojęcia i wzory 147
na w rozdziale 1, tw. 1.54) Z niej wynika, że:
sin(x + h) − sin x
lim
= lim
h→0 h
2sin h cos(x + h)
2 2
=
h→0 h
sin(h/2)
= lim · cos
h→0 h/2
(
x + h 2
)
= cos x.
Udało się więc nam wykazać, że pochodną funkcji sinus w punkcie x jest
liczba cos x, czyli że zachodzi wzór (sin x) ′ = cos x. Stąd wynika, że równanie
stycznej w punkcie (p,sin p) do wykresu funkcji sinus to y = (cos p)(x − p) +
sinp, w szczególności styczna do wykresu funkcji sinus w punkcie (0,0) ma
równanie y = x.
Następne wzory wyprowadzimy po podaniu reguł, według których obliczane
są pochodne. Nie będziemy w tym przypadku zajmować się pochodnymi
nieskończonymi, bowiem w zastosowaniach będą nam potrzebne na ogół pochodne
skończone.
TWIERDZENIE 4.3 (o arytmetycznych własnościach pochodnej). Załóżmy,
że funkcje f i g są różniczkowalne w punkcie p. Wtedy funkcje f ± g, f · g
i, jeśli g(p) ≠ 0, to również f są różniczkowalne w punkcie p i zachodzą wzory:
g
(f + g) ′ (x) = f ′ (x) + g ′ (x), (f − g) ′ (x) = f ′ (x) − g ′ (x),
( ) ′
f
(f · g) ′ = f ′ (x)g(x) + f(x)g ′ (x), (x) = f ′ (x)g(x) − f(x)g ′ (x)
. ×
g
(g(x)) 2
TWIERDZENIE 4.4 (o pochodnej złożenia). Załóżmy, że funkcja g jest
różniczkowalna w punkcie p, zaś funkcja f, określona na zbiorze zawierającym
wszystkie wartości funkcji g, jest różniczkowalna w punkcie g(p). Wtedy
złożenie tych funkcji f ◦ g jest różniczkowalne w punkcie p i zachodzi wzór:
(f ◦ g) ′ (x) = f ′ (g(x))g ′ (x). ×
Niech y = g(x). Stosując to oznaczenie, możemy napisać (f ◦ g) ′ (x) =
= f ′ (y)g(x) lub d(f◦g) (x) = df dg df dg
d(f◦g)
(g(x))· (x) = (y)· (x), lub krócej =
dx dy dx dy dx dx
= df · dg
dy dx
. Często wzór ten zapisywany jest w postaci
d(f◦g)
dx
= df · dg lub, po
dg dx
. W literaturze anglojęzycznej nosi
oznaczeniu z = f(y), jako dz = dz · dy
dx dy dx
on nazwę „the Chain Rule”, co zawdzięcza ostatniej postaci, zwłaszcza jeśli
zastosujemy go nie w przypadku złożenia dwu funkcji, lecz większej ich liczby
– wtedy łańcuch staje się bardziej widoczny.