Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

3.7. Zadania 135
Niech 2α 1 , 2α 2 , 2α 3 , 2α 4 , 2α 5 będą kątami środkowymi opartymi na bokach
pięciokąta 15 . Wtedy bokami są liczby 2sin α 1 , 2sin α 2 , 2sin α 3 , 2sin α 4 , 2sin α 5
– wynika to z definicji sinusa, wobec tego połowa obwodu pięciokąta równa jest
sinα 1 + sin α 2 + sin α 3 + sin α 4 + sin α 5 . Oczywiście spełnione są nierówności
0 < α 1 < π, 0 < α 2 < π, 0 < α 3 < π, 0 < α 4 < π, 0 < α 5 < π. Na przedziale
[0,π] sinus jest funkcją ściśle wklęsłą, stosujemy nierówność Jensena:
sinα 1 + sin α 2 + sin α 3 + sinα 4 + sin α 5 =
1
= 5(
5 sin α 1 + 1 5 sin α 2 + 1 5 sinα 3 + 1 5 sin α 4 + 1 )
5 sin α 5 ≤
( 1
≤ 5sin
5 α 1 + 1 5 α 2 + 1 5 α 3 + 1 5 α 4 + 1 )
5 α 5 =
= 5sin α 1 + α 2 + α 3 + α 4 + α 5
5
= 5sin π 5 .
Wielkość 5sin π to połowa obwodu pięciokąta foremnego wpisanego w okrąg,
5
więc twierdzenie jest udowodnione. Wypada dodać, że ponieważ funkcja sinus
na przedziale [0,π] jest ściśle wklęsła, więc pięciokąty nieforemne mają obwody
mniejsze niż pięciokąt foremny wpisany w ten sam okrąg.
Te przykłady to tylko drobna ilustracja różnorodnych możliwości, które
daje nierówność Jensena. W następnym rozdziale powrócimy do funkcji wypukłych
i wtedy poznamy inne sposoby uzyskiwania nierówności przy wykorzystaniu
wypukłości funkcji.
3.7. Zadania
√ √
125. Znaleźć granicę, o ile istnieje, lim x + 3 − x − 2.
x→+ ∞
126. Znaleźć granicę, o ile istnieje, lim
x→1
x−1
x 2 −1 .
127. Znaleźć granicę, o ile istnieje, lim
x→0
e 2x −1
x
.
128. Znaleźć granicę, o ile istnieje, lim
x→0
e x −1
2x .
129. Znaleźć granicę, o ile istnieje, lim
x→0
e −1/x2 .
130. Znaleźć granicę, o ile istnieje, lim
x→+ ∞ e−1/x2 .
1
131. Znaleźć granicę, o ile istnieje, lim .
x→0 x e−1/x2
15 Wierzchołek kąta jest środkiem okręgu, ramiona przechodzą przez końce boku.