Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

122 3. Funkcje ciągłe
TWIERDZENIE 3.26 (o ciągłości funkcji monotonicznej). Jeśli funkcja
monotoniczna f określona na zbiorze A ⊂ R przekształca zbiór A na przedział,
to jest ciągła w każdym punkcie zbioru A.
Dowód. Dla ustalenia uwagi załóżmy, że funkcja f jest niemalejąca. Jeśli
p ∈ A jest granicą ciągu (a n ) punktów zbioru A mniejszych niż p, to istnieje
granica lim f(x) ≤ f(p). Ponieważ dla x ≥ p zachodzi nierówność
x→p −
f(x) ≥ f(p), a dla x < p zachodzi nierówność f(x) ≤ lim f(x), więc z tego,
x→p −
że obrazem zbioru A jest przedział, wynika, że lim f(x) = f(p) – gdyby było
x→p −
lim f(x) < f(p), to punkty przedziału ( lim f(x),f(p) ) byłyby poza obrazem
zbioru A, więc nie byłby on przedziałem. Analogicznie: jeśli istnieje ciąg
x→p − x→p −
(a ′ n ) większych niż p zbieżny do p, to f(p) = lim f(x). Stąd wynika, że f jest
x→p +
ciągła w punkcie p. Dowód został zakończony.
Wniosek 3.27 (charakteryzacja monotonicznych funkcji ciągłych). Jeśli f
jest funkcją monotoniczną określoną na przedziale P, to f jest ciągła w każdym
punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy f przekształca przedział P na pewien
przedział (zdegenerowany do punktu w przypadku, gdy f jest funkcją
stałą).
TWIERDZENIE 3.28 (o monotoniczności różnowartościowej funkcji ciągłej).
Jeżeli f jest różnowartościową funkcją określoną na przedziale P, ciągłą
w każdym punkcie przedziału P, to f jest funkcją ściśle monotoniczną.
Dowód. Wykażemy najpierw, że jeśli x,z są punktami przedziału P i x <
< y < z, to f(y) leży między punktami f(x) i f(z). Są dwie możliwości
f(x) < f(z) oraz f(x) > f(z). Drugą możliwość można sprowadzić do pierwszej
przez zastąpienie funkcji f funkcją przeciwną −f. Wystarczy więc zająć
się pierwszą. Jeśli f(y) nie leży między f(x) i f(z), to albo f(y) < f(x), albo
f(z) < f(y). W pierwszym przypadku, na mocy twierdzenia o przyjmowaniu
wartości pośrednich, istnieje taki punkt x ′ leżący między y i z, że f(x) = f(x ′ ).
Przeczy to różnowartościowości funkcji f. W drugim przypadku między x i y
znajduje się taki punkt z ′ , że f(z) = f(z ′ ), co znów przeczy różnowartościowości
funkcji f.
Teraz przejdziemy do właściwego dowodu. Załóżmy, że dla pewnych punktów
r,s przedziału P zachodzą nierówności r < s oraz f(r) < f(s). Udowodnimy,
że jeśli u < v, to również f(u) < f(v). Z tego, co już udowodniliśmy,
wynika, że jeśli u < r, to f(u) < f(r) (dla dowodu rozważamy trójkę x = u,
y = r, z = s), jeśli r < u < s, to f(r) < f(u) < f(s) (tym razem x = r, y = u,
z = s) i wreszcie jeśli s < u, to f(s) < f(u). To samo dotyczy oczywiście
f(v). Punkty r,s dzielą przedział P na trzy podprzedziały. Jeśli u,v znajdują