Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

4.5. Szeregi potęgowe II 181
jest równa 0 w punktach wewnętrznych tego przedziału. Stąd wynika, że ta
funkcja jest stała na przedziale [−1,1]. Wobec tego dla każdej liczby x ∈ [−1,1]
zachodzi równość:
∞∑
arctg x − (−1) n x 2n+1
∞
·
2n + 1 = arctg 0 − ∑
(−1) n 0 2n+1
·
2n + 1 = 0.
n=0
∑
Stąd wynika, że równość arctg x = ∞ (−1) n · x2n+1
zachodzi dla każdego
2n+1
n=0
x ∈ [−1,1].
Podobnie jak w poprzednim przykładzie tak i tu możemy uzyskać konkretne
rezultaty. Na przykład podstawiając x = 1 do otrzymanego wzoru,
otrzymujemy:
n=0
π
4 = arctg 1 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 ∞
7 + · · · = ∑
(−1) n 1
2n + 1 .
Ta równość nazywana jest zwykle wzorem Leibniza. Można wykazać, że jeśli
chcielibyśmy za pomocą tego wzoru znajdować przybliżenia dziesiętne liczby π,
to musielibyśmy wykonać wiele obliczeń, co nawet w przypadku komputerów
ma istotne znaczenie – dla każdej liczby naturalnej n zachodzi nierówność
1
podwójna < 1 − 1 + 1 − 1 +· · · < 1 (nie jest ona oczywista!),
4(n+1) 2n+1 2n+3 2n+5 2n+7 4n
więc błąd, który popełniamy przy zastępowaniu liczby π liczbą 1− 1 + 1 − 1 +
4 3 5 7
+ · · ·+(−1) n−1 1 jest zawarty między 1
oraz 1 . Stosując wzór z lepiej
2n−1 4(n+1) 4n
dobranym x, otrzymać można bez trudu szeregi „szybciej” zbieżne 15 .
∑
Przykład 4.44. Wykażemy teraz, że sinx = ∞ (−1) n x2n+1
. Wykazaliśmy
(2n+1)!
poprzednio, że dla każdej liczby rzeczywistej x > 0 zachodzi nierówność podwójna
x − x3
3!
< sin x < x. Teraz wykażemy, że:
n=0
sin x < x − x3
3! + x5
5! .
Niech f(x) = x − x3
+ x5
−sinx. Mamy f ′ (x) = 1 − x2
+ x4
−cos x i wobec
3! 5! 2! 4!
tego możemy napisać, że (f ′ ) ′ (x) = −x + x3
+ sin x. Z przypomnianej nierówności
wynika, że dla każdej liczby x > 0 zachodzi (f ′ ) ′ (x) > 0, a stąd wynika,
3!
że funkcja f ′ jest ściśle rosnąca na półprostej [0,+∞). Ponieważ f ′ (0) = 0,
więc jeśli x > 0, to f ′ (x) > f ′ (0) = 0. Stąd wynika, że funkcja f jest ściśle
rosnąca na półprostej [0,+∞) i wobec tego, jeśli x > 0, to f(x) > f(0) = 0,
czyli x − x3
+ x5
> sinx, a to właśnie chcieliśmy wykazać.
3! 5!
15 Można o tym przeczytać np. w rachunku różniczkowym i całkowym G.M. Fichtenholza, t. 2,
rozdział XI, $ 8, punkt 410, książce wielokrotnie wznawianej przez PWN.
n=0