Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

204 4. Funkcje różniczkowalne
319. Niech a 0 = 1 = a 1 oraz a n+2 = a n+1 + a n dla dowolnej liczby n =
= 0,1,2,...
a) Wykazać, że dla n = 0,1,2,3,... zachodzi nierówność a n ≤ 2 n .
∑
b) Wykazać, że szereg ∞ a n x n jest zbieżny dla każdej liczby x∈ ( − 1, 1 2 2)
.
c) Niech f(x) = ∞ ∑
n=0
n=0
a n x n dla x ∈ ( − 1, ( 1
2 2)
. Wykazać, że dla x ∈ −
1
, )
1
2 2
jest spełniona równość: f(x) = xf(x) + x 2 f(x) + 1.
1
d) Wykazać, że f(x) = , potem rozwinąć funkcję f w szereg
Taylora ( o środku w punkcie x 0 = 0 i dowieść, że: a n =
1−x−x 2
(1+
= √ 1
√
5
) n+1 ( √
5 2 − 1− 5
) n+1
)
.
2
320. Niech a 0 = 2, a 1 = 5 oraz a n+2 = 5a n+1 − 6a n dla dowolnej liczby
n = 0,1,2,...
a) Wykazać, że dla n = 0,1,2,3,... zachodzi nierówność a n ≤ 5 n .
∑
b) Wykazać, że szereg ∞ a n x n jest zbieżny dla każdej liczby x∈ ( − 1, 1 5 5)
.
c) Niech f(x) = ∞ ∑
n=0
n=0
a n x n dla x ∈ ( − 1, ( 1
5 5)
. Wykazać, że dla x ∈ −
1
, )
1
5 5
jest spełniona równość: f(x) = 5xf(x) − 6x 2 f(x) + 2 − 5x.
d) Wykazać, że f(x) = 2−5x , następnie rozwinąć funkcję f w szereg
1−5x+6x 2
Taylora o środku w punkcie x 0 = 0 i uzyskać wzór: a n = 2 n + 3 n .