Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

2.3. Szereg geometryczny 73
Wypada nadmienić, że wiemy coś o jego sumie – jest ona ≤ 2, ale matematycy
potrafią ją znaleźć – jest ona równa π2
. Uzyskanie tego wyniku wykracza
6
jednak poza program wykładu z analizy dla ekonomistów. Podaliśmy ten rezultat
po to tylko, by uświadomić czytelnikom, że czym innym jest wykazanie
istnienia granicy ciągu lub zbieżności szeregu, a czymś zupełnie innym jej znalezienie.
2.3. Szereg geometryczny
∑
Szereg geometryczny ∞ q n jest rozbieżny, gdy |q| ≥ 1. Wynika to stąd, że
n=0
w tym przypadku liczba 0 nie jest granicą ciągu (q n ) .
Jeśli |q| < 1, to szereg geometryczny jest zbieżny. Zachodzi wzór:
1 + q + q 2 + · · · + q n−1 = 1 − qn
1 − q .
Jeśli |q| < 1, to lim
n→∞
q n = 0, co wykazaliśmy w poprzednim rozdziale, zatem:
∞∑
n=0
q n = 1 + q + q 2 1 − q n
+ · · · = lim
n→∞ 1 − q = lim
(
1 + q + q 2 + · · · + q n−1) =
n→∞
= 1
1 − q .
Dla przykładu wykażemy, że 1 = 0,99999... – po przecinku występują
same dziewiątki. Ten wzór dziwi wiele osób. Trzeba jednak zrozumieć, że prawa
strona jest równa:
9
10 + 9
100 + 9
1000 + 9
10000 + ... = 9
10 ·
=
9
10
1 − 1 10
(
1+ 1
10 + 1
10 2 + 1
10 3 + 1
10 4 + ... )
=
= 1.
Uzyskana równość wskazuje na niejednoznaczność zapisu liczb w postaci
dziesiętnej. Bez większych trudności można wykazać, że podany przykład stanowi
w istocie rzeczy przykład typowy: albo od pewnego miejsca w rozwinięciu
dziesiętnym liczby rzeczywistej występują same dziewiątki, albo – same zera.
W drugim przypadku cyfra poprzedzająca zera jest o 1 większa niż cyfra poprzedzająca
dziewiątki np. 1234599,999999 · · · = 1234600,000000... . Inne
liczby, np. √ 2 = 1,4142... lub 1 = 0,333 · · · = 0,(3), można przedstawić tylko
3
w jeden sposób w postaci rozwinięcia dziesiętnego. Twierdzenie to jest łatwe,
ale dowodzić go nie będziemy, bowiem nic nam nie wiadomo o jego stosowaniu
w ekonomii.