Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

170 4. Funkcje różniczkowalne
stawimy na końcu paragrafu. Z wypukłości funkcji wynika, że jej pochodna
jest niemalejąca – jest to wniosek z poprzedniego twierdzenia. Zakładamy,
że funkcja f jest różniczkowalna, a jej pochodna f ′ jest niemalejąca:
x < y ⇒ f ′ (x) ≤ f ′ (y). Dla dowodu wypukłości funkcji f wykażemy, że jeżeli
x < y < z, to f(x)−f(y) ≤ f(y)−f(z) . Z twierdzenia o wartości średniej wynika,
x−y y−z
że istnieją takie punkty r ∈ (x,y) oraz s ∈ (y,z), że f(x)−f(y) = f ′ (r) oraz
f(y)−f(z)
y−z
= f ′ (s). Ponieważ r < y < s, więc r < s i wobec tego f ′ (r) ≤ f ′ (s),
co kończy dowód twierdzenia w tym przypadku. ×
Przykład 4.30. Funkcja x a jest ściśle wypukła na półprostej (0,+∞) dla
a > 1 oraz dla a < 0, natomiast w przypadku 0 < a < 1 jest ściśle wklęsła.
Wynika to natychmiast z twierdzenia o wypukłości funkcji o niemalejącej pochodnej,
bowiem (x a ) ′ = ax a−1 , więc ( (x a ) ′) ′
= a(a − 1)x a−2 , czyli funkcja
(
(x a ) ′) ′
jest dodatnia na półprostej (0,+∞) w przypadku a > 1 oraz a < 0,
natomiast w przypadku 0 < a < 1 – funkcja ta jest ujemna. Z czego wynika, że
pochodna (x a ) ′ rośnie w pierwszych dwóch przypadkach, natomiast w trzecim
– maleje.
Przykład 4.31 (uogólniona nierówność Bernoulliego). Jeśli a > 0 lub a < 0
i −1 < x ≠ 0, to (1+x) a > 1+ax. Jeśli natomiast 0 < a < 1 oraz −1 < x ≠ 0,
to (1 + x) a < 1 + ax.
Wynika to od razu z poprzedniego przykładu – z tego że pochodną funkcji
(1+x) a w punkcie 0 jest liczba a oraz z tego, że wykres funkcji ściśle wypukłej
leży nad styczną, mając z nią dokładnie jeden punkt wspólny, zaś wykres
funkcji ściśle wklęsłej leży pod styczną, mając z nią dokładnie jeden punkt
wspólny.
Przykład 4.32. Funkcja wykładnicza a x o podstawie dodatniej a ≠ 1 jest
ściśle wypukła. Mamy bowiem (a x ) ′ = ( e x ln a) ′
= e x ln a · ln a = a x · ln a.
Wobec tego ( (a x ) ′) ′
= ax · (ln a) 2 > 0 dla każdego x, więc funkcja (a x ) ′ jest
ściśle rosnąca na całej prostej, a wobec tego funkcja a x jest ściśle wypukła.
Wynika stąd, między innymi, że wykres funkcji wykładniczej leży nad styczną
(w dowolnym punkcie), np. a x > 1 + x · ln a dla x ≠ 0 i 0 < a ≠ 1.
Przykład 4.33. Funkcja log a x jest ściśle wklęsła na półprostej (0,+∞)
w przypadku a > 1, natomiast w przypadku 0 < a < 1 funkcja log a x jest ściśle
wypukła. Wynika to z tego, że log a x = ln x,
wobec czego (log ln a a x) ′ = 1 , x ln a
więc pochodna ta jest ściśle malejąca w przypadku lna > 0, czyli w przypadku
a > 1, oraz ściśle rosnąca w przypadku ln a < 0, czyli dla 0 < a < 1.
Przykład 4.34. Funkcja sinus jest ściśle wklęsła na każdym przedziale postaci
[2nπ,(2n + 1)π], zaś na przedziałach postaci [(2n − 1)π,2nπ] jest ona ściśle
x−y