Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

4. Funkcje różniczkowalne
4.1. Podstawowe pojęcia i wzory
Funkcje służą do opisu różnych zjawisk fizycznych, ekonomicznych, biologicznych
itd. Uzyskanie samego opisu matematycznego jest na ogół pierwszym
krokiem do zbadania zjawiska. Wielokrotnie jedną z dróg prowadzących do
celu jest poznanie własności funkcji. Jednym z pierwszych problemów, które
trzeba rozwiązywać, jest ustalenie, w jakim tempie zmieniają się wartości
funkcji. Tego rodzaju kwestie napotykamy przy próbach znalezienia największych
lub najmniejszych wartości funkcji, przy ustalaniu prędkości, z jaką
porusza się interesujący nas obiekt, przyspieszenia, zmiany liczby ludzi lub
zwierząt na jakimś obszarze itd. Do pojęcia pochodnej, czyli wielkości mierzącej
tempo zmian funkcji, ludzie dochodzili stopniowo. Matematycy i fizycy
w wieku XVII i XVIII (Fermat, Newton, Leibniz i inni), ekonomiści nieco później,
niezależnie od matematyków i fizyków (stąd nieco inna terminologia: np.
koszt krańcowy, dochód krańcowy, ...). Za początek rachunku różniczkowego
i całkowego przyjmuje się przełom wieków XVII i XVIII, główne odkrycia
zostały dokonane przez Newtona (1643–1727) i Leibniza (1646–1716). Początkowo
nie istniał właściwy język, którym można by opisywać uzyskiwane
rezultaty, ale na początku XIX w. i później teoria została usystematyzowana
dzięki pracom wielu matematyków, głównie wspominanego już Augusta
Cauchy’ego.
To, co w momencie powstawania było zrozumiałe jedynie dla niewielu i to
tylko najwybitniejszych, stało się przedmiotem obowiązkowych wykładów dla
początkujących studentów, a nawet uczniów szkół średnich. Oczywiście nie
wszyscy poznają teorię z taką samą dokładnością i tak samo dobrze ją rozumieją,
jednak jest ona powszechnie studiowana od momentu powstania i nic
nie zapowiada zmian w tym zakresie. Wielu studentów ma trudności ze zrozumieniem
różnych twierdzeń. Przyczyn jest wiele, ale w większości przypadków
sprowadzają się one do nieopanowania podstawowych twierdzeń matematyki