Projekt okładki Edwin Radzikowski Redakcja Elżbieta Sejferówna ...

4.8. Zadania 203
306. Wykazać, że jeśli funkcje f i g są wypukłe, funkcja g jest niemalejąca, to
funkcja g ◦ f jest wypukła, jeśli natomiast g jest nierosnąca, to złożenie g ◦ f
może być funkcją wklęsłą, wypukłą lub nawet mieć punkty przegięcia.
307. Wykazać, że jeśli funkcja f jest wypukła na każdym z przedziałów [a,b]
i [b,c] oraz różniczkowalna w punkcie b, to jest wypukła na [a,c]. Podać przykład
świadczący o tym, że bez założenia różniczkowalności teza nie jest prawdziwa.
308. Niech f(x) = sin 2x. Rozwinąć funkcję f w szereg potęgowy o środku
w punkcie 0.
309. Niech f(x) = sin 2 x. Rozwinąć funkcję f w szereg potęgowy o środku
w punkcie 0.
310. Niech f(x) = sinx. Rozwinąć funkcję f w szereg potęgowy o środku
w punkcie π.
311. Rozwinąć w szereg potęgowy o środku w punkcie 2 funkcję f, jeśli f(x) =
= x 4 .
312. Rozwinąć w szereg potęgowy o środku w punkcie 1 funkcję f, jeśli f(x) =
= e x .
313. Niech f(x) = xsin x. Rozwinąć funkcję f w szereg potęgowy o środku
w punkcie 0.
314. Niech f(x) = 1
(1−x) 3 . Rozwinąć funkcję f w szereg potęgowy o środku
w punkcie 0.
1
315. Niech f(x) = . Rozwinąć funkcję f w szereg potęgowy o środku
(x−1)(x−2)
w punkcie 0.
x+1
316. Niech f(x) = . Rozwinąć funkcję f w szereg potęgowy o środku
(x−1)(x−2)
w punkcie 0.
317. Niech ln(1 + x) = ∞ ∑
− n ∑
k=1
(−1) k−1
k
x k .
n=1
a) Wykazać, że lim |nr n (1)| = 1.
n→∞ 2
b) Wykazać, że |nr n ( 1)| < 1 .
∣ 2 2 n+1
c) Znaleźć lim ∣r n (1) + r n+1 (1) ∣ ∣.
n 2
n→∞ 2
(−1) n−1
x n dla x ∈ (−1,1] i r
n
n (x) = ln (1 + x) −
d) Wykazać, że jeśli n jest dowolną liczbą naturalną, to lim
x→−1 |r n(x)| =
= +∞.
318. Niech f(x) = x . Rozwinąć funkcję f w szereg potęgowy o środku
(1+x 2 ) 2
w punkcie 0. ( Wskazówka: ( )
1 ′ )
1+x =
−2x
2 (1+x 2 ) . 2